Определения

\( \ant x \) — антье \( x \) (или целая часть числа \( x \)) — это наибольшее целое число, не превосходящее \( x \),
\[
\ant x = \max \left\{ n \in \mathbb Z \ | \ n \leqslant x \right\} .
\]

\( \mant x \) — мантисса \( x \) (или дробная часть числа \( x \)) — это число, равное раз­нос­ти между числом \( x \) и антье \( x \),
\[
\mant x = x - \ant x .
\]

Очевидно, что любое действительное число \( x \) представляется единст­вен­ным способом в виде суммы целой и дробной частей
\[
x = \ant x + \mant x .
\] Примеры: \begin{gather*}
\ant{1{,}5} = 1, \ \mant{1{,}5} = 0{,}5 ;
\\[4pt]
\ant{-\frac23} = -1, \ \mant{-\frac23} = \frac13 ;
\\[4pt]
\ant{\pi} = 3, \ \mant{\pi} = \pi - 3 ;
\\[4pt]
\ant{-\sqrt2} = -2, \ \mant{-\sqrt2} = 2 - \sqrt2 ;
\\[4pt]
\mant{-\sqrt3} + \mant{\sqrt3} = 1 .
\end{gather*} Замечательный пример с неожиданным сочетанием антье трансцендентных чисел \( \pi = 3{,}14159\,... \) и \( e=2{,}71828\,... \)
\[ {\ant \pi}^{\ant e} + \ant e = {\ant e}^{\ant \pi} + \ant \pi . \]