(*) Следующие задачи (см. также задачу 154) демонстрируют, насколько необычным является множество мантисс \(
\mant {n \alpha} \), где \( n \in \mathbb N \) и \(
\alpha \) — иррациональное число.
Среди чисел \( \mant {n \alpha} \), \( \mant {2 \alpha} \), ..., \(
\mant {(k+1) \alpha}
\) какая-нибудь пара обязательно попадет в один из \( k \) интервалов (согласно принципу Дирихле).
Легенда гласит, что именно при доказательстве данного факта Дирихле сформулировал принцип, носящий его имя. Если легенда является историческим фактом, то принцип Дирихле обязан своим появлением мантиссе!
Пусть такой парой будут числа \(
\mant {p \alpha} \) и \( \mant {q \alpha} \) \(
(p, \, q \in \mathbb N) \). Для определенности будем считать, что \(
\mant {p \alpha} > \mant {q \alpha} \). Тогда
\[
0 < \mant {p \alpha} - \mant {q \alpha} < \varepsilon ,
\quad \mbox {или}
\] \[
\mant { \alpha (p - q) } < \varepsilon .
\tag {153.2}
\] 1) Если \( \boldsymbol {p > q} \), то \(
\boldsymbol {n = p - q } \), означающее, что \(
\mant {n \alpha} \in \left( 0, \, \dfrac 1 {k+1} \right)
\).
Предположим, \( \mant {n \alpha} = \delta \) \(
(0 < \delta < \varepsilon) \). Тогда \(
\boldsymbol {m = n \cdot \ant { \dfrac 1 \delta } } \), так как \[
\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot \mant {n \alpha} =
\mant { \ant { \dfrac 1 \delta } \cdot \mant {n \alpha} } =
\mant {\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot n \alpha}
\quad \mbox {и}
\] \[
1- \varepsilon < \ant { \dfrac 1 \delta } \cdot \mant {n \alpha} < 1 .
\]
2) Если \( \boldsymbol {p < q} \), то под знаком мантиссы в (153.2) стоит отрицательное нецелое выражение. Используя равенство \(
\mant x + \mant {-x} = 1
\) \( (x \not\in \mathbb Z) \), получим \(
1 - \mant { \alpha (q - p) } < \varepsilon \), т.е. \(
\boldsymbol {m = q - p} \), т.е. \(
\mant {m \alpha} \in \left( \dfrac k {k+1}, \, 1 \right)
\).
Предположим, \( 1 - \mant {m \alpha} = \delta \) \(
(0 < \delta < \varepsilon) \). Тогда \(
\boldsymbol {n = m \cdot \ant { \dfrac 1 \delta } } \). Покажем, что \(
\mant {n \alpha} < \varepsilon
\):
\[
\mant {n \alpha} =
\mant {\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot m \alpha} =
\mant {\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot (1 - \delta)} =
\] \[
\mant {- \delta \cdot \ant { \dfrac 1 \delta }} =
\mant { \delta \cdot \mant { \dfrac 1 \delta }} < \varepsilon .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
Примечание. Точки \( 0 \) и \( 1 \) являются предельными для числовой последовательности \( \mant {n \alpha} \), где \( \alpha \) — иррациональное число.
\mant {n \alpha} \), где \( n \in \mathbb N \) и \(
\alpha \) — иррациональное число.
153. Пусть \( \alpha \) — некоторое иррациональное число. Докажите, что для любого сколь угодно малого \( \varepsilon > 0 \) найдутся натуральные числа \(
n \) и \( m \) такие, что \[
\mant {n \alpha} < \varepsilon
\quad \mbox {и} \quad
1 - \mant {m \alpha} < \varepsilon .
\tag {153.1}
\]
Доказательство. Пусть \( k = \ant { \dfrac 1 {\varepsilon} } + 1 \). Разобьем интервал \( \bigl( 0, \, 1 \bigr) \) на \( k \) равных интервалов.n \) и \( m \) такие, что \[
\mant {n \alpha} < \varepsilon
\quad \mbox {и} \quad
1 - \mant {m \alpha} < \varepsilon .
\tag {153.1}
\]
Среди чисел \( \mant {n \alpha} \), \( \mant {2 \alpha} \), ..., \(
\mant {(k+1) \alpha}
\) какая-нибудь пара обязательно попадет в один из \( k \) интервалов (согласно принципу Дирихле).
Легенда гласит, что именно при доказательстве данного факта Дирихле сформулировал принцип, носящий его имя. Если легенда является историческим фактом, то принцип Дирихле обязан своим появлением мантиссе!
Пусть такой парой будут числа \(
\mant {p \alpha} \) и \( \mant {q \alpha} \) \(
(p, \, q \in \mathbb N) \). Для определенности будем считать, что \(
\mant {p \alpha} > \mant {q \alpha} \). Тогда
\[
0 < \mant {p \alpha} - \mant {q \alpha} < \varepsilon ,
\quad \mbox {или}
\] \[
\mant { \alpha (p - q) } < \varepsilon .
\tag {153.2}
\] 1) Если \( \boldsymbol {p > q} \), то \(
\boldsymbol {n = p - q } \), означающее, что \(
\mant {n \alpha} \in \left( 0, \, \dfrac 1 {k+1} \right)
\).
Предположим, \( \mant {n \alpha} = \delta \) \(
(0 < \delta < \varepsilon) \). Тогда \(
\boldsymbol {m = n \cdot \ant { \dfrac 1 \delta } } \), так как \[
\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot \mant {n \alpha} =
\mant { \ant { \dfrac 1 \delta } \cdot \mant {n \alpha} } =
\mant {\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot n \alpha}
\quad \mbox {и}
\] \[
1- \varepsilon < \ant { \dfrac 1 \delta } \cdot \mant {n \alpha} < 1 .
\]
2) Если \( \boldsymbol {p < q} \), то под знаком мантиссы в (153.2) стоит отрицательное нецелое выражение. Используя равенство \(
\mant x + \mant {-x} = 1
\) \( (x \not\in \mathbb Z) \), получим \(
1 - \mant { \alpha (q - p) } < \varepsilon \), т.е. \(
\boldsymbol {m = q - p} \), т.е. \(
\mant {m \alpha} \in \left( \dfrac k {k+1}, \, 1 \right)
\).
Предположим, \( 1 - \mant {m \alpha} = \delta \) \(
(0 < \delta < \varepsilon) \). Тогда \(
\boldsymbol {n = m \cdot \ant { \dfrac 1 \delta } } \). Покажем, что \(
\mant {n \alpha} < \varepsilon
\):
\[
\mant {n \alpha} =
\mant {\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot m \alpha} =
\mant {\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot (1 - \delta)} =
\] \[
\mant {- \delta \cdot \ant { \dfrac 1 \delta }} =
\mant { \delta \cdot \mant { \dfrac 1 \delta }} < \varepsilon .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
Примечание. Точки \( 0 \) и \( 1 \) являются предельными для числовой последовательности \( \mant {n \alpha} \), где \( \alpha \) — иррациональное число.