\( \mant {n \alpha} < \varepsilon \)

(*) Следующие задачи (см. также задачу 154) демонстрируют, насколько не­обыч­ным является множество мантисс \(
\mant {n \alpha} \), где \( n \in \mathbb N \) и \(
\alpha \) — ир­ра­цио­наль­ное число.

153. Пусть \( \alpha \) — некоторое иррациональное число. Докажите, что для любого сколь угодно малого \( \varepsilon > 0 \) найдутся натуральные числа \(
n \) и \( m \) такие, что \[
\mant {n \alpha} < \varepsilon
\quad \mbox {и} \quad
1 - \mant {m \alpha} < \varepsilon .
\tag {153.1}
\]

Доказательство. Пусть \( k = \ant { \dfrac 1 {\varepsilon} } + 1 \). Разобьем интервал \( \bigl( 0, \, 1 \bigr) \) на \( k \) равных интервалов.

Среди чисел \( \mant {n \alpha} \), \( \mant {2 \alpha} \), ..., \(
\mant {(k+1) \alpha}
\) какая-нибудь пара обязательно попадет в один из \( k \) интервалов (согласно принципу Дирихле).

Легенда гласит, что именно при доказательстве данного факта Дирихле сфор­му­ли­ро­вал принцип, носящий его имя. Если легенда является историческим фак­том, то принцип Дирихле обязан своим появлением мантиссе!

Пусть такой парой будут числа \(
\mant {p \alpha} \) и \( \mant {q \alpha} \) \(
(p, \, q \in \mathbb N) \). Для определенности будем считать, что \(
\mant {p \alpha} > \mant {q \alpha} \). Тогда
\[
0 < \mant {p \alpha} - \mant {q \alpha} < \varepsilon ,
\quad \mbox {или}
\] \[
\mant { \alpha (p - q) } < \varepsilon .
\tag {153.2}
\] 1) Если \( \boldsymbol {p > q} \), то \(
\boldsymbol {n = p - q } \), означающее, что \(
\mant {n \alpha} \in \left( 0, \, \dfrac 1 {k+1} \right)
\).
Предположим, \( \mant {n \alpha} = \delta \) \(
(0 < \delta < \varepsilon) \). Тогда \(
\boldsymbol {m = n \cdot \ant { \dfrac 1 \delta } } \), так как \[
\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot \mant {n \alpha} =
\mant { \ant { \dfrac 1 \delta } \cdot \mant {n \alpha} } =
\mant {\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot n \alpha}
\quad \mbox {и}
\] \[
1- \varepsilon < \ant { \dfrac 1 \delta } \cdot \mant {n \alpha} < 1 .
\]
2) Если \( \boldsymbol {p < q} \), то под знаком мантиссы в (153.2) стоит отрицательное нецелое выражение. Используя равенство \(
\mant x + \mant {-x} = 1
\) \( (x \not\in \mathbb Z) \), получим \(
1 - \mant { \alpha (q - p) } < \varepsilon \), т.е. \(
\boldsymbol {m = q - p} \), т.е. \(
\mant {m \alpha} \in \left( \dfrac k {k+1}, \, 1 \right)
\).
Предположим, \( 1 - \mant {m \alpha} = \delta \) \(
(0 < \delta < \varepsilon) \). Тогда \(
\boldsymbol {n = m \cdot \ant { \dfrac 1 \delta } } \). Покажем, что \(
\mant {n \alpha} < \varepsilon
\):
\[
\mant {n \alpha} =
\mant {\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot m \alpha} =
\mant {\ant { \dfrac 1 \delta } \cdot (1 - \delta)} =
\] \[
\mant {- \delta \cdot \ant { \dfrac 1 \delta }} =
\mant { \delta \cdot \mant { \dfrac 1 \delta }} < \varepsilon .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)

Примечание. Точки \( 0 \) и \( 1 \) являются предельными для числовой по­сле­до­ва­тель­нос­ти \( \mant {n \alpha} \), где \( \alpha \) — иррациональное число.