«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

15 ноября 2016 г.

Обратные функции

(*) Предлагаю решить две похожие задачи, первая из которых опубликована в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com), вторая — в форуме Art of Problem Solving.
Определите обратную функцию к функции:
157. \(
f (x) = x - 4 \ant x + \ant {2x} .
\)
158. \(
f (x) = x - 3 \ant {2x} + 2 \ant {3x} .
\)
Решение 157. Выразим \( y (x) \) из \(
x = y - 4 \ant y + \ant {2y} .
\)
Очевидно, что \( \mant y = \mant x \). Определим \( \ant y \)
\[
\ant x = \ant y - 4 \ant y + \ant {2(\ant y + \mant y)} ,
\] \[
\ant y = - \ant x + \ant {2 \mant y} ,
\quad \mbox {или}
\] \[
\ant y = - \ant x + \ant {2 \mant x} .
\] Наведем «красоту»
\[
y = x - 2 \ant x + \ant {2 \mant x} ,
\] \[
y = x - 4 \ant x + \ant {2x} .
\]
Ответ: \( f^{-1} (x) = f (x) \).

Решение 158. Подход аналогичный, но результат \( f^{-1} (x) \not= f (x) \) не аналогичный. Поэтому требуется проверка \(
f^{-1} \bigl( f (x) \bigr) = x \), поскольку случай \(
f \bigl( f^{-1} (x) \bigr) = x \) следует из решения.

Ответ: \( f^{-1} (x) = x + 3 \ant {2x} - 2 \ant {3x} \).


Автор: И.Л. на 16:03
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.