\( \bigl| \mant {n \alpha} - a \bigr| < \varepsilon \)

(*) Обобщением предыдущего утверждения является следующий факт.

154. Пусть \( \alpha \) — некоторое иррациональное число. Докажите, что для любых \( 0 < a < 1 \) и сколь угодно малого \( \varepsilon > 0 \) найдется натуральное число \( n \) такое, что  \(
\bigl| \mant {n \alpha} - a \bigr| < \varepsilon \).

Доказательство. Согласно результатам задачи 153 найдется \(
m_0 \in \mathbb N \) такое, что для любого \(
\varepsilon > 0\) выполняется оценка \(
\mant {m_0 \alpha} < \varepsilon \).

Пусть \( \mant {m_0 \alpha} = \delta \), отметим, что \(
0 < \delta < \varepsilon \).

Чтобы выполнялось неравенство \(
a - \varepsilon < n_0 \delta < a + \varepsilon ,
\) достаточно взять \( n_0 = \ant { \dfrac {a + \varepsilon} {\delta} } \). Понятно, что \( n_0 \geqslant 1 \).

Поскольку \( \varepsilon \) — малая величина (в этом весь смысл), то можно считать \( a + \varepsilon < 1 \). Тогда \(
n_0 \mant {m_0 \alpha} < 1\), следовательно, \(
n_0 \mant {m_0 \alpha} = \mant {n_0 m_0 \alpha} \).

Таким образом, искомое \( n = n_0 m_0 \).
\( \color{gray}{\blacksquare} \)

Примечание 1. Согласно задачам 153 и 154 любая точка из отрезка \(
\bigl[ 0, \, 1 \bigr] \) является предельной для числовой последовательности \( \mant {n \alpha} \), где \( \alpha \) — иррациональное число.

Примечание 2. Множество \( \mant {n \alpha} \), где \( \alpha \) — иррациональное число, является подмножеством отрезка \(
\bigl[ 0, \, 1 \bigr] \) и является всюду плотным в этом промежутке.