\( \bigant {x^2} + \bigant {x^8} \geqslant 2 \bigant {x^5} \)

(*) Недавно в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) было опубликовано тождество

156. Докажите, что для любого \( x \in \mathbb R \) выполняется тождество \[
\bigant {x^2} + \bigant {x^8} \geqslant 2 \bigant {x^5}
\tag {156.1}
\]

Доказательство. Случай \(
\boldsymbol {x < 1} \) не представляет интереса, все понятно.

Если \( \boldsymbol {x \geqslant \sqrt [3] 2} \), то
\[
x^8 \geqslant 2x^5,
\quad
\bigant {x^8} \geqslant \bigant {2x^5},
\quad
\bigant {x^8} \geqslant 2\bigant {x^5}.
\]
Очевидно, что при \(
\boldsymbol {1 \leqslant x < \sqrt [5] 2} \) тождество выполняется (156.1).

При \( \boldsymbol {\sqrt [5] 2 \leqslant x < \sqrt [5] 3} \)
\[
\bigant {x^5} = 2 ,
\quad \bigant {x^8} \geqslant 3.
\]

При \( \boldsymbol {\sqrt [5] 3 \leqslant x < \sqrt [5] 4} \)
\[
\bigant {x^5} = 3 ,
\quad \bigant {x^8} \geqslant 5.
\]

Поскольку \( \sqrt [5] 4 > \sqrt [3] 2 \), тождество доказано.

\( \color{gray}{\blacksquare} \)