«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

13 ноября 2016 г.

\( \bigant {x^2} + \bigant {x^8} \geqslant 2 \bigant {x^5} \)

(*) Недавно в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) было опубликовано тождество
156. Докажите, что для любого \( x \in \mathbb R \) выполняется тождество \[
\bigant {x^2} + \bigant {x^8} \geqslant 2 \bigant {x^5}
\tag {156.1}
\]
Доказательство. Случай \(
\boldsymbol {x < 1} \) не представляет интереса, все понятно.

Если \( \boldsymbol {x \geqslant \sqrt [3] 2} \), то
\[
x^8 \geqslant 2x^5,
\quad
\bigant {x^8} \geqslant \bigant {2x^5},
\quad
\bigant {x^8} \geqslant 2\bigant {x^5}.
\]
Очевидно, что при \(
\boldsymbol {1 \leqslant x < \sqrt [5] 2} \) тождество выполняется (156.1).

При \( \boldsymbol {\sqrt [5] 2 \leqslant x < \sqrt [5] 3} \)
\[
\bigant {x^5} = 2 ,
\quad \bigant {x^8} \geqslant 3.
\]

При \( \boldsymbol {\sqrt [5] 3 \leqslant x < \sqrt [5] 4} \)
\[
\bigant {x^5} = 3 ,
\quad \bigant {x^8} \geqslant 5.
\]

Поскольку \( \sqrt [5] 4 > \sqrt [3] 2 \), тождество доказано.

\( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 20:45
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.