«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

6 ноября 2016 г.

\( \ant { \dfrac {2x - 3} {12}} + \ant { \dfrac {x+1} 6} = \dfrac {x+1}4 \)

Недавно в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) было опубликовано уравнение
152. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac {2x - 3} {12}} + \ant { \dfrac {x+1} 6} =
\dfrac {x+1}4 .
\tag {152.1}
\]
Решение. Приведем уравнение к виду
\[
\ant { \dfrac {x +1} {6} - \dfrac 5 {12}} + \ant { \dfrac {x+1} 6} =
\dfrac {x+1}4 .
\tag {152.2}
\]
Антье либо равны, либо отличаются на \( 1 \), тогда правая часть либо четная, либо нечетная соответственно.

1) \( \boldsymbol {\dfrac {x+1}4 = 2k} \), или \( x = 8k - 1 \). После подстановки в (152.2) получим
\[
\ant { \dfrac {4k} 3 - \dfrac 5 {12}} + \ant { \dfrac {4k} 3} = 2k,
\] \[
\ant { \dfrac k 3 - \dfrac 5 {12}} + \ant { \dfrac k 3} = 0,
\] \[
\ant { \dfrac k 3 - \dfrac 5 {12}} = \ant { \dfrac k 3} = 0,
\] \( k = 2 \), значит, \( x = 15 \) отравляется в ответ.

1) \( \boldsymbol {\dfrac {x+1}4 = 2k+1} \), или \( x = 8k + 3\). После подстановки в (152.2) получим
\[
\ant { \dfrac {4k} 3 + \dfrac 1 4} + \ant { \dfrac {4k} 3 + \dfrac 2 3} = 2k+1,
\] \[
\ant { \dfrac k 3 + \dfrac 1 4} + \ant { \dfrac k 3 - \dfrac 1 3} = 0,
\] \[
\ant { \dfrac k 3 + \dfrac 1 4} = \ant { \dfrac k 3 - \dfrac 1 3} = 0,
\] \( k = 1, \, 2 \), значит, \( x = 11, \, 19 \) отравляются в ответ.

Ответ: \(
11, \, 15, \, 19
\).


Автор: И.Л. на 19:42
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.