\( \mant { \dfrac {2009!} {2011} } \)

Не сказал бы, что данная задача интересная, поскольку для ее решения надо знать определенные факты из теории чисел. Однако надо быть готовым и к таким задания.

144. (Беларусь/2011, 2/4) Вычислите \( \mant { \dfrac {2009!} {2011} } \).

Решение. Первое что надо знать — число \( 2011 \) является простым. (Впрочем можно и не знать, но тогда придется проверять делимость числа \( 2011 \) на простые числа, не превосходящие \( \ant { \sqrt {2011} } = 44 \)).

Обозначим \( p = 2011 \). Тогда требуется вычислить \(
\mant { \dfrac {(p-2)!} p } \).
Второе что надо знать — теорему Вильсона, согласно которой если \( p \) —простое число, то \[
\mant { \dfrac {(p-1)! + 1} p } = 0
\tag {144.1}
\] (верно и обратное утверждение).

Выполним равносильные преобразования (144.1): \[
\mant { \dfrac {(p-1) \cdot (p-2)! + 1} p } = 0 ,
\] \[
\mant { \dfrac 1p - \dfrac { (p-2)!} p } = 0 ,
\] \[
\mant { \dfrac { (p-2)!} p } = \mant { \dfrac 1p} ,
\] \[
\mant { \dfrac { (p-2)!} p } = \dfrac 1p .
\]
Ответ: \(
\dfrac 1 {2011}
\).