«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

11 октября 2016 г.

\( \mant { \dfrac {2009!} {2011} } \)

Не сказал бы, что данная задача интересная, поскольку для ее решения надо знать определенные факты из теории чисел. Однако надо быть готовым и к таким задания.
144. (Беларусь/2011, 2/4) Вычислите \( \mant { \dfrac {2009!} {2011} } \).
Решение. Первое что надо знать — число \( 2011 \) является простым. (Впрочем можно и не знать, но тогда придется проверять делимость числа \( 2011 \) на простые числа, не превосходящие \( \ant { \sqrt {2011} } = 44 \)).

Обозначим \( p = 2011 \). Тогда требуется вычислить \(
\mant { \dfrac {(p-2)!} p } \).
Второе что надо знать — теорему Вильсона, согласно которой если \( p \) —простое число, то \[
\mant { \dfrac {(p-1)! + 1} p } = 0
\tag {144.1}
\] (верно и обратное утверждение).

Выполним равносильные преобразования (144.1): \[
\mant { \dfrac {(p-1) \cdot (p-2)! + 1} p } = 0 ,
\] \[
\mant { \dfrac 1p - \dfrac { (p-2)!} p } = 0 ,
\] \[
\mant { \dfrac { (p-2)!} p } = \mant { \dfrac 1p} ,
\] \[
\mant { \dfrac { (p-2)!} p } = \dfrac 1p .
\]
Ответ: \(
\dfrac 1 {2011}
\).


Автор: И.Л. на 03:54
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.