«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

10 октября 2016 г.

\( \mant a = \dfrac 1a \)

(*) Несложная задача на понимание встретилась ранее в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
142. Докажите, что все действительные числа, удовлетворяющие равенству \( \mant a = \dfrac 1a \) являются иррациональными.
Решение. Понятно, что равенству из условия задачи удовлетворяют положительные нецелые числа, большие \( 1 \).
Предположим, что \( a \) — рациональное число, т.е. \(
a = \dfrac pq > 1\), где \( q \) и \( p \) — взаимно простые числа.
Тогда равенство можно представить в виде \[
\mant {\dfrac pq - \dfrac qp} = 0 .
\] Поскольку выражение, стоящее под знаком мантиссы, не может быть целым числом, то высказанное ранее предположение невыполнимо.

А имеет ли смысл равенство \( \mant a = \dfrac 1a \)?
В задании не требуется решить уравнение, но привести хотя бы одно значение \( a \), при котором выполняется равенство стоит, например, \(
a = \sqrt 2 + 1 \).
\( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 14:46
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.