(*) Несложная задача на понимание встретилась ранее в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
Предположим, что \( a \) — рациональное число, т.е. \(
a = \dfrac pq > 1\), где \( q \) и \( p \) — взаимно простые числа.
Тогда равенство можно представить в виде \[
\mant {\dfrac pq - \dfrac qp} = 0 .
\] Поскольку выражение, стоящее под знаком мантиссы, не может быть целым числом, то высказанное ранее предположение невыполнимо.
А имеет ли смысл равенство \( \mant a = \dfrac 1a \)?
В задании не требуется решить уравнение, но привести хотя бы одно значение \( a \), при котором выполняется равенство стоит, например, \(
a = \sqrt 2 + 1 \).
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
142. Докажите, что все действительные числа, удовлетворяющие равенству \( \mant a = \dfrac 1a \) являются иррациональными.
Решение. Понятно, что равенству из условия задачи удовлетворяют положительные нецелые числа, большие \( 1 \).Предположим, что \( a \) — рациональное число, т.е. \(
a = \dfrac pq > 1\), где \( q \) и \( p \) — взаимно простые числа.
Тогда равенство можно представить в виде \[
\mant {\dfrac pq - \dfrac qp} = 0 .
\] Поскольку выражение, стоящее под знаком мантиссы, не может быть целым числом, то высказанное ранее предположение невыполнимо.
А имеет ли смысл равенство \( \mant a = \dfrac 1a \)?
В задании не требуется решить уравнение, но привести хотя бы одно значение \( a \), при котором выполняется равенство стоит, например, \(
a = \sqrt 2 + 1 \).
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
