«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

13 октября 2016 г.

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \ant { \dfrac k2 } = \ant { \dfrac {n^2} 4 } \)

(*) При вычислении сумм одним из основных приемов является суммирование по частям (дискретное преобразование Абеля). В предлагаемой задаче мы воспользуемся частным случаем \[
\sum_{k=1}^n a_k =
n a_n -
\sum_{k=1}^{n-1} k \, (a_{k+1} - a_k) .
\tag {149.1}
\]
149. Вычислите сумму \(
\displaystyle
\sum_{k=1}^n \ant { \dfrac k2 }
\).
Решение. Согласно (149.1) \[
\sum_{k=1}^n \ant { \dfrac k2 } =
n \cdot \ant { \dfrac n2 } -
\sum_{k=1}^{n-1} \left(
\ant { \dfrac {k+1}2 } - \ant { \dfrac k2 }
\right) =
\] \[
=
n \cdot \ant { \dfrac n2 } -
\left(
1 + 3 + \ldots + 2 \cdot \ant { \dfrac n2 } - 1
\right) = \ldots
\] В скобках стоит сумма нечетных чисел, образующих арифметическую прогрессию, в количестве \( \ant { \dfrac n2 } \) слагаемых.
\[
\ldots =
n \cdot \ant { \dfrac n2 } - \ant { \dfrac n2 } ^2 =
\ant { \dfrac n2 } \cdot \left(
n - \ant { \dfrac n2 }
\right) =
\ant { \dfrac n2 } \cdot \ant { \dfrac {n+1}2 } =
\ant { \dfrac {n^2} 4 } .
\]
Ответ: \(
\displaystyle
\sum_{k=1}^n \ant { \dfrac k2 } =
\ant { \dfrac {n^2} 4 }
\).


Автор: И.Л. на 03:46
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.