\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \ant { \dfrac k2 } = \ant { \dfrac {n^2} 4 } \)

(*) При вычислении сумм одним из основных приемов является суммирование по частям (дискретное преобразование Абеля). В предлагаемой задаче мы воспользуемся частным случаем \[
\sum_{k=1}^n a_k =
n a_n -
\sum_{k=1}^{n-1} k \, (a_{k+1} - a_k) .
\tag {149.1}
\]

149. Вычислите сумму \(
\displaystyle
\sum_{k=1}^n \ant { \dfrac k2 }
\).

Решение. Согласно (149.1) \[
\sum_{k=1}^n \ant { \dfrac k2 } =
n \cdot \ant { \dfrac n2 } -
\sum_{k=1}^{n-1} \left(
\ant { \dfrac {k+1}2 } - \ant { \dfrac k2 }
\right) =
\] \[
=
n \cdot \ant { \dfrac n2 } -
\left(
1 + 3 + \ldots + 2 \cdot \ant { \dfrac n2 } - 1
\right) = \ldots
\] В скобках стоит сумма нечетных чисел, образующих арифметическую прогрессию, в количестве \( \ant { \dfrac n2 } \) слагаемых.
\[
\ldots =
n \cdot \ant { \dfrac n2 } - \ant { \dfrac n2 } ^2 =
\ant { \dfrac n2 } \cdot \left(
n - \ant { \dfrac n2 }
\right) =
\ant { \dfrac n2 } \cdot \ant { \dfrac {n+1}2 } =
\ant { \dfrac {n^2} 4 } .
\]
Ответ: \(
\displaystyle
\sum_{k=1}^n \ant { \dfrac k2 } =
\ant { \dfrac {n^2} 4 }
\).