«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

12 октября 2016 г.

\( \displaystyle f(x) = \sum_{k=2}^{10} \Bigl( \bigant {kx} - k \bigant x \Bigr) \)

(*) Следующая задача мне приглянулась, поскольку в решении можно использовать ряд Фарея — редкий гость в задачах (в основном решении применяется функция Эйлера).
145. (ACM/10B/2016, 25-ая задача) Пусть функция \[
f(x) = \sum_{k=2}^{10}
\Bigl(
\bigant {kx} - k \bigant x
\Bigr)
\tag {145.1}
\] задана на множестве действительных чисел. Определите количество различных значений, которые принимает функция \( f(x) \).
Решение. Приведем функцию к виду \[
f(x) = \sum_{k=2}^{10}
\Bigant {k \mant x} .
\tag {145.2}
\] Заметим, что функция \( f(x) \) периодическая, т.е. \(
f(x+T) = f(x)\), с периодом \( T = 1 \). Значит, достаточно определить область значений \( f(x) \) при \( 0 \leqslant x < 1 \) \[
f(x) = \sum_{k=2}^{10}
\bigant {k x} ,
\quad \mbox {или}
\] \[
f(x) = \bigant {2 x} + \bigant {3 x} + \ldots + \bigant {10 x} .
\tag {145.3}
\] По формуле (145.3) можно сделать вывод, что функция \( f(x) \) кусочно-постоянная, неубывающая, \( f(0) = 0 \).
Функция \( f(x) \) меняет значение в точках \( \dfrac n k \), где \(
1 \leqslant n < k \leqslant 10 \) и \( n, \, k \) — взаимно простые числа. Но ведь этот набор точек — ряд Фарея 10-го порядка (думаю, что можно «отбросить» число \( 1 \)).
Подсчет дробей выполните самостоятельно.

Ответ: \(
32
\).


Автор: И.Л. на 02:28
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.