\( \displaystyle f(x) = \sum_{k=2}^{10} \Bigl( \bigant {kx} - k \bigant x \Bigr) \)

(*) Следующая задача мне приглянулась, поскольку в решении можно использовать ряд Фарея — редкий гость в задачах (в основном решении применяется функция Эйлера).

145. (ACM/10B/2016, 25-ая задача) Пусть функция \[
f(x) = \sum_{k=2}^{10}
\Bigl(
\bigant {kx} - k \bigant x
\Bigr)
\tag {145.1}
\] задана на множестве действительных чисел. Определите количество различных значений, которые принимает функция \( f(x) \).

Решение. Приведем функцию к виду \[
f(x) = \sum_{k=2}^{10}
\Bigant {k \mant x} .
\tag {145.2}
\] Заметим, что функция \( f(x) \) периодическая, т.е. \(
f(x+T) = f(x)\), с периодом \( T = 1 \). Значит, достаточно определить область значений \( f(x) \) при \( 0 \leqslant x < 1 \) \[
f(x) = \sum_{k=2}^{10}
\bigant {k x} ,
\quad \mbox {или}
\] \[
f(x) = \bigant {2 x} + \bigant {3 x} + \ldots + \bigant {10 x} .
\tag {145.3}
\] По формуле (145.3) можно сделать вывод, что функция \( f(x) \) кусочно-постоянная, неубывающая, \( f(0) = 0 \).
Функция \( f(x) \) меняет значение в точках \( \dfrac n k \), где \(
1 \leqslant n < k \leqslant 10 \) и \( n, \, k \) — взаимно простые числа. Но ведь этот набор точек — ряд Фарея 10-го порядка (думаю, что можно «отбросить» число \( 1 \)).
Подсчет дробей выполните самостоятельно.

Ответ: \(
32
\).