\( \dfrac {n + 2016} {\ant{ \sqrt n }} \), \( \dfrac {n + 2015} {\ant{ \sqrt {n+1} }} \)

(*) Недавно в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) было опубликовано следующее задание.

141. Найдите все натуральные значения \( n \) такие, что оба выражения \[
\dfrac {n + 2016} {\ant{ \sqrt n }}
\quad \mbox {и} \quad
\dfrac {n + 2015} {\ant{ \sqrt {n+1} }}
\tag {141.1}
\] являются целыми числами.

Решение. \( \ant{ \sqrt n } = \ant{ \sqrt {n+1} } \) тогда и только тогда, когда \( n+1 \) не является полным квадратом, иначе \(
\ant{ \sqrt n } + 1 = \ant{ \sqrt {n+1}} \).

Рассмотрим два случая.
1) \( \boldsymbol { \ant{ \sqrt n } = \ant{ \sqrt {n+1} } } \).
Тогда знаменатели дробей (141.1) должны равняться \( 1 \), т.е. \(
n = 1 \) и \( n = 2 \).

2) \( \boldsymbol { \ant{ \sqrt n } + 1 = \ant{ \sqrt {n+1} } } \).
Обозначим \( m = \sqrt {n+1} \), или \(
n = m^2 - 1\). Тогда дроби (141.1) примут вид \[
\dfrac {m^2 - 1 + 2016} {m - 1}
\quad \mbox {и} \quad
\dfrac {m^2 - 1 + 2015} m .
\tag {141.2}
\] Осталось найти такие натуральные значения \( m \), при которых \[
2016 \ \vdots \ (m-1)
\quad \mbox {и} \quad
2014 \ \vdots \ m .
\tag {141.3}
\] Поскольку \( 2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53 \) и \(
2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7\), то перебор небольшой. Подходят только два значения \( m = 2 \) и \( m = 19 \), т.е. \( n = 3 \) и \( n = 360 \).

Ответ: \(
n = 1, \, 2, \, 3, \, 360
\).