\( \bigmant {\sqrt n} \geqslant 0{,}011 \), \( \bigmant {\sqrt k} < 0{,}0115 \)

(*) Авторы олимпиадных задач из Беларуси традиционно снабжают нас интересными задачами на мантиссу (оценки мантиссы).

146. (Беларусь/2015) Пусть множество \( M \) состоит из натуральных чисел, не превосходящих \( 2015 \) и не являющимися полными квадратами. Докажите, что:
а) для любого \( n \in M \) выполняется неравенство \[
\bigmant {\sqrt n} > 0{,}011 ;
\tag {146.1}
\] б) существует \( k \in M \), для которого выполняется неравенство \[
\bigmant {\sqrt k} < 0{,}0115 .
\tag {146.2}
\]

Мне уже приходилось решать подобные задачи, поэтому довольно быстро удалось получить оценку, которую я оформил в виде следующей задачи.

147. Докажите, что если натуральное число \( n \) не является полным квадратом, то \[
\bigmant {\sqrt n} > \dfrac 1 {2 \sqrt n} .
\tag {147.1}
\]

Доказательство 147. Думается, что равносильные преобразования не требуют объяснений: \[
\sqrt n - \dfrac 1 {2 \sqrt n} > \bigant {\sqrt n} ,
\] \[
n - 1 + \dfrac 1 {4 n} > \bigant {\sqrt n} ^2 ,
\] \[
n - 1 \geqslant \bigant {\sqrt n} ^2 ,
\] \[
\sqrt {n-1} \geqslant \bigant {\sqrt {n-1}} .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)

Доказательство 146. Понятно, что приведенное доказательство — общий случай для задания 146 а).

Докажем (146.2).
Выскажу утверждение — среди натуральных значений \(
k \leqslant 2015 \), которые не являются полными квадратами, наименьшее значение \( \bigmant {\sqrt k} \) достигается при наибольшем \( k \) таком, что \( k - 1 < 2015 \) и \( (k - 1) \) является полным квадратом.

Данное значение \( k_0 \) легко вычислить: \(
k_0 - 1 = 44^2 = 1936\), \( k_0 = 1937 \).

Обоснование утверждения отложу до лучших времен, в этой задаче оно не требуется. Нам надо лишь показать, что \(
\bigmant {\sqrt {k_0}} < \alpha \), где \( \alpha = 0{,}0115 \).

Прямые вычисления выполнять неохота, калькулятором пользоваться неприлично. Впрочем удается заметно упросить арифметику: \[
\sqrt {k_0} < \alpha + \bigant {\sqrt {k_0}} ,
\] \[
\sqrt {k_0} < \alpha + \sqrt {k_0 - 1} ,
\] \[
k_0 < \alpha^2 + 2 \alpha \sqrt {k_0 - 1} + k_0 - 1,
\] \[
\sqrt {k_0 - 1} > \dfrac 1 {2\alpha} - \dfrac {\alpha} 2 =
43 + \dfrac {11} {23} - \dfrac {23} {4000} ,
\] \[
43 < \sqrt {k_0 - 1} \leqslant 44.
\] Таким образом, \(
\bigmant {\sqrt {1937}} < 0{,}0115 \).
\( \color{gray}{\blacksquare} \)