\( \bigant x + \bigant {2x} + \bigant {3x} + \ldots + \bigant {nx} = \dfrac { n \left( \bigant x + \bigant {nx} \right) } 2 \)

Предлагаю очередную разминочную задачу.

148. (Румыния/2010, региональный этап) Докажите, что если для любого \(
x \in \mathbb R \) и для любого \( n \in \mathbb N \) выполняется равенство \[
\bigant x +
\bigant {2x} +
\bigant {3x} + \ldots +
\bigant {nx} =
\dfrac { n \left( \bigant x + \bigant {nx} \right) } 2 ,
\tag {148.1}
\] то \( x \) является целым числом.

Доказательство. Понятно, что при целых значениях \( x \) равенство (148.1) выполняется.

Введем функцию \( f(x) \) \[
f(x) = \bigant x +
\bigant {2x} +
\bigant {3x} + \ldots +
\bigant {nx} -
\dfrac { n \left( \bigant x + \bigant {nx} \right) } 2 .
\] Очевидно, что \( f(x+1) = f(x) \), т.е. функция \( f(x) \) периодическая. Значит, достаточно рассмотреть поведение \( f(x) \) на полуинтервале \(
0 \leqslant x < 1 \), на котором вид функции \( f(x) \) несколько упрощается \[
f(x) =
\bigant {2x} +
\bigant {3x} + \ldots +
\bigant {nx} -
\dfrac { n \bigant {nx} } 2 .
\tag {148.2}
\] Переформулируем задание — докажите, что если для любого \(
x \in \bigl[ 0; \, 1 \bigr) \) и для любого \( n \in \mathbb N \) выполняется равенство \( f(x) = 0 \), то \( x \) может быть равен только \( 0 \). (Очевидно, что \( f(0) = 0 \).)

Контрпример для доказательства от противного подбирается несложно.
При \(\dfrac 1n \leqslant x < \dfrac 1{n-1} \), где \(
n \geqslant 3 \), \( f(x) < 0 \).
\( \color{gray}{\blacksquare} \)