Вчера в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) было опубликовано занятное уравнение.
f(n) = 2 f(n^2), \quad \mbox {где }
f(n) = \ant { \dfrac {2n -1} 4} .
\tag {140.2}
\] Поскольку \( f(1) = 0 \), то \( n = 1 \) идет в ответ.
\( f(0) = -1 \), тогда \( n \not= -1 \).
Если \( n \leqslant -2 \), левая часть (140.2) принимает отрицательные значения, правая — положительные.
При \( n \geqslant 2 \) выполняется неравенство \( f(n) < f(2n) \), т.е. при других положительных \( n \) (кроме \( n = 1 \)) решений нет.
Ответ: \(
n = 1
\).
Примечание. Другое решение (140.1) основано на рассмотрении двух случаев: четных и нечетных значениях \( n \). Однако это не так занятно, как приведенное выше решение.
140. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac {2n + 3} 4} + 1 = 2 \ant { \dfrac {2n^2 + 3} 4} .
\tag {140.1}
\] относительно целых \( n \).
Решение. Занятным я назвал уравнение, поскольку оно приводится к виду \[\ant { \dfrac {2n + 3} 4} + 1 = 2 \ant { \dfrac {2n^2 + 3} 4} .
\tag {140.1}
\] относительно целых \( n \).
f(n) = 2 f(n^2), \quad \mbox {где }
f(n) = \ant { \dfrac {2n -1} 4} .
\tag {140.2}
\] Поскольку \( f(1) = 0 \), то \( n = 1 \) идет в ответ.
\( f(0) = -1 \), тогда \( n \not= -1 \).
Если \( n \leqslant -2 \), левая часть (140.2) принимает отрицательные значения, правая — положительные.
При \( n \geqslant 2 \) выполняется неравенство \( f(n) < f(2n) \), т.е. при других положительных \( n \) (кроме \( n = 1 \)) решений нет.
Ответ: \(
n = 1
\).
Примечание. Другое решение (140.1) основано на рассмотрении двух случаев: четных и нечетных значениях \( n \). Однако это не так занятно, как приведенное выше решение.
