«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

9 октября 2016 г.

\( \ant { \dfrac {2n + 3} 4} + 1 = 2 \ant { \dfrac {2n^2 + 3} 4} \)

Вчера в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) было опубликовано занятное уравнение.
140. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac {2n + 3} 4} + 1 = 2 \ant { \dfrac {2n^2 + 3} 4} .
\tag {140.1}
\] относительно целых \( n \).
Решение. Занятным я назвал уравнение, поскольку оно приводится к виду \[
f(n) = 2 f(n^2), \quad \mbox {где }
f(n) = \ant { \dfrac {2n -1} 4} .
\tag {140.2}
\] Поскольку \( f(1) = 0 \), то \( n = 1 \) идет в ответ.
\( f(0) = -1 \), тогда \( n \not= -1 \).
Если \( n \leqslant -2 \), левая часть (140.2) принимает отрицательные значения, правая — положительные.
При \( n \geqslant 2 \) выполняется неравенство \( f(n) < f(2n) \), т.е. при других положительных \( n \) (кроме \( n = 1 \)) решений нет.

Ответ: \(
n = 1
\).

Примечание. Другое решение (140.1) основано на рассмотрении двух случаев: четных и нечетных значениях \( n \). Однако это не так занятно, как приведенное выше решение.


Автор: И.Л. на 23:21
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.