\( \mant { \dfrac {n+ m} 2 } + \mant { \dfrac {n - m + 1} 2 } \), \( \ant { \dfrac {n+ m} 2 } + \ant { \dfrac {n - m + 1} 2 } \)

(*) Простые задачи могут использоваться для тренировки поиска кратчайшего решения. В задачах на антье и мантиссу зачастую приходиться рассматривать разные случаи, например, четность и нечетность неизвестных или выражений. А можно найти решение, избегающее такое рассмотрение.
Предлагаю поупражняться на следующих заданиях.

150. Вычислите \[
\mant { \dfrac {n+ m} 2 } +
\mant { \dfrac {n - m + 1} 2 } ,
\quad \mbox {где }
n, \, m \in \mathbb Z .
\tag {150.1}
\]

151. Вычислите \[
\ant { \dfrac {n+ m} 2 } +
\ant { \dfrac {n - m + 1} 2 } ,
\quad \mbox {где }
n, \, m \in \mathbb Z .
\tag {151.1}
\]

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \ant { \dfrac k2 } = \ant { \dfrac {n^2} 4 } \)

(*) При вычислении сумм одним из основных приемов является суммирование по частям (дискретное преобразование Абеля). В предлагаемой задаче мы воспользуемся частным случаем \[
\sum_{k=1}^n a_k =
n a_n -
\sum_{k=1}^{n-1} k \, (a_{k+1} - a_k) .
\tag {149.1}
\]

149. Вычислите сумму \(
\displaystyle
\sum_{k=1}^n \ant { \dfrac k2 }
\).

\( \bigant x + \bigant {2x} + \bigant {3x} + \ldots + \bigant {nx} = \dfrac { n \left( \bigant x + \bigant {nx} \right) } 2 \)

Предлагаю очередную разминочную задачу.

148. (Румыния/2010, региональный этап) Докажите, что если для любого \(
x \in \mathbb R \) и для любого \( n \in \mathbb N \) выполняется равенство \[
\bigant x +
\bigant {2x} +
\bigant {3x} + \ldots +
\bigant {nx} =
\dfrac { n \left( \bigant x + \bigant {nx} \right) } 2 ,
\tag {148.1}
\] то \( x \) является целым числом.

\( \bigmant {\sqrt n} \geqslant 0{,}011 \), \( \bigmant {\sqrt k} < 0{,}0115 \)

(*) Авторы олимпиадных задач из Беларуси традиционно снабжают нас интересными задачами на мантиссу (оценки мантиссы).

146. (Беларусь/2015) Пусть множество \( M \) состоит из натуральных чисел, не превосходящих \( 2015 \) и не являющимися полными квадратами. Докажите, что:
а) для любого \( n \in M \) выполняется неравенство \[
\bigmant {\sqrt n} > 0{,}011 ;
\tag {146.1}
\] б) существует \( k \in M \), для которого выполняется неравенство \[
\bigmant {\sqrt k} < 0{,}0115 .
\tag {146.2}
\]

Мне уже приходилось решать подобные задачи, поэтому довольно быстро удалось получить оценку, которую я оформил в виде следующей задачи.

147. Докажите, что если натуральное число \( n \) не является полным квадратом, то \[
\bigmant {\sqrt n} > \dfrac 1 {2 \sqrt n} .
\tag {147.1}
\]

\( \displaystyle f(x) = \sum_{k=2}^{10} \Bigl( \bigant {kx} - k \bigant x \Bigr) \)

(*) Следующая задача мне приглянулась, поскольку в решении можно использовать ряд Фарея — редкий гость в задачах (в основном решении применяется функция Эйлера).

145. (ACM/10B/2016, 25-ая задача) Пусть функция \[
f(x) = \sum_{k=2}^{10}
\Bigl(
\bigant {kx} - k \bigant x
\Bigr)
\tag {145.1}
\] задана на множестве действительных чисел. Определите количество различных значений, которые принимает функция \( f(x) \).

\( \mant { \dfrac {2009!} {2011} } \)

Не сказал бы, что данная задача интересная, поскольку для ее решения надо знать определенные факты из теории чисел. Однако надо быть готовым и к таким задания.

144. (Беларусь/2011, 2/4) Вычислите \( \mant { \dfrac {2009!} {2011} } \).

\( \bigmant {a + b + c} = \bigmant {a + b + d} = \bigmant {a + c + d} = \bigmant {b + c + d} = \dfrac14 \)

(*) «Чистые» задания на мантиссу встречаются довольно редко («чистым» я называю задание, в котором и в условии, и при решении не используется антье).

143. (Украина/2014, 1/4) Для действительных чисел \(
a \), \( b \), \( c \), \( d \) выполняются равенства: \[
\bigmant {a + b + c} =
\bigmant {a + b + d} =
\bigmant {a + c + d} =
\bigmant {b + c + d} = \dfrac14 .
\] Какие значения принимает мантисса \(
\bigmant {a + b + c + d}\)?

\( \mant a = \dfrac 1a \)

(*) Несложная задача на понимание встретилась ранее в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

142. Докажите, что все действительные числа, удовлетворяющие равенству \( \mant a = \dfrac 1a \) являются иррациональными.

\( \dfrac {n + 2016} {\ant{ \sqrt n }} \), \( \dfrac {n + 2015} {\ant{ \sqrt {n+1} }} \)

(*) Недавно в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) было опубликовано следующее задание.

141. Найдите все натуральные значения \( n \) такие, что оба выражения \[
\dfrac {n + 2016} {\ant{ \sqrt n }}
\quad \mbox {и} \quad
\dfrac {n + 2015} {\ant{ \sqrt {n+1} }}
\tag {141.1}
\] являются целыми числами.

\( \ant { \dfrac {2n + 3} 4} + 1 = 2 \ant { \dfrac {2n^2 + 3} 4} \)

Вчера в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) было опубликовано занятное уравнение.

140. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac {2n + 3} 4} + 1 = 2 \ant { \dfrac {2n^2 + 3} 4} .
\tag {140.1}
\] относительно целых \( n \).

\( a_n = a_{n-1} + \ant { \sqrt {a_{n-1}} } \)

(*) Следующая задача предлагалась на интернет-олимпиаде NIMO/2012 (National Internet Math Olympiad). Формулировка изменена мной, чтобы выделить интересный факт — бесконечное количество полных квадратов в последовательности.

139. Задана целочисленная последовательность \(
\bigl\{ a_n \bigr\}_{n=1}^{\infty} \) \[
a_1 = 1,
\quad
a_n = a_{n-1} + \ant { \sqrt {a_{n-1}} }
\ (n \geqslant 2) .
\tag {139.1}
\] Докажите, что в этой последовательности бесконечное количество полных квадратов, и определите их вид.