Очередная задача взята из командного тура World Mathematics Team Championship (2011/Advanced Level).
3 < \sqrt {a^2 + 1} + \sqrt {b^2 + 1} + \sqrt {c^2 + 1} < 4 .
\tag {134.1}
\] Левая оценка (134.1) очевидна при \( a = b = c = 0 \).
Для обоснования правой оценки можно воспользоваться неравенством \[
\sqrt {x^2 + 1} < x + 1
\quad \mbox {при }
x > 0 .
\] Ответ: \( 3 \).
134. Определите значение \[
\ant {
\sqrt {a^2 + 1} + \sqrt {b^2 + 1} + \sqrt {c^2 + 1}
} ,
\] где \( a, \, b, \, c \in \mathbb R_{>0} \) и \(
a + b + c = 1\).
Решение. Покажем, что \[\ant {
\sqrt {a^2 + 1} + \sqrt {b^2 + 1} + \sqrt {c^2 + 1}
} ,
\] где \( a, \, b, \, c \in \mathbb R_{>0} \) и \(
a + b + c = 1\).
3 < \sqrt {a^2 + 1} + \sqrt {b^2 + 1} + \sqrt {c^2 + 1} < 4 .
\tag {134.1}
\] Левая оценка (134.1) очевидна при \( a = b = c = 0 \).
Для обоснования правой оценки можно воспользоваться неравенством \[
\sqrt {x^2 + 1} < x + 1
\quad \mbox {при }
x > 0 .
\] Ответ: \( 3 \).
