«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

17 сентября 2016 г.

\( \ant { \sqrt {3a + 1} + \sqrt {3b + 1} + \sqrt {3c + 1} } \)

Следующая задача из командного тура World Mathematics Team Championship (2010/Advanced Level) аналогична задаче из предыдущего поста.
135. Определите значение \[
\ant {
\sqrt {3a + 1} + \sqrt {3b + 1} + \sqrt {3c + 1}
} ,
\] где \( a, \, b, \, c \in \mathbb R_{>0} \) и \(
a + b + c = 1\).
Решение. Покажем, что \[
4 < \sqrt {3a + 1} + \sqrt {3b + 1} + \sqrt {3c + 1} < 5 .
\tag {135.1}
\] Для доказательства левой оценки (135.1) пригодится следующее утверждение: \[
\mbox {если }
0 < x < 1 ,
\mbox { то }
x+1 < \sqrt {3x + 1} .
\] Для обоснования правой оценки (135.1) можно воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним квадратичным \[
\dfrac {\sqrt {3a + 1} + \sqrt {3b + 1} + \sqrt {3c + 1}} 3
\leqslant
\sqrt {
\dfrac {(3a + 1) + (3b + 1) + (3c + 1)} 3
} = \sqrt 2 .
\] Ответ: \( 4 \).


Автор: И.Л. на 02:11
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.