\( \ant { \sqrt {3a + 1} + \sqrt {3b + 1} + \sqrt {3c + 1} } \)

Следующая задача из командного тура World Mathematics Team Championship (2010/Advanced Level) аналогична задаче из предыдущего поста.

135. Определите значение \[
\ant {
\sqrt {3a + 1} + \sqrt {3b + 1} + \sqrt {3c + 1}
} ,
\] где \( a, \, b, \, c \in \mathbb R_{>0} \) и \(
a + b + c = 1\).

Решение. Покажем, что \[
4 < \sqrt {3a + 1} + \sqrt {3b + 1} + \sqrt {3c + 1} < 5 .
\tag {135.1}
\] Для доказательства левой оценки (135.1) пригодится следующее утверждение: \[
\mbox {если }
0 < x < 1 ,
\mbox { то }
x+1 < \sqrt {3x + 1} .
\] Для обоснования правой оценки (135.1) можно воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним квадратичным \[
\dfrac {\sqrt {3a + 1} + \sqrt {3b + 1} + \sqrt {3c + 1}} 3
\leqslant
\sqrt {
\dfrac {(3a + 1) + (3b + 1) + (3c + 1)} 3
} = \sqrt 2 .
\] Ответ: \( 4 \).