Следующая задача попортила мне много крови (ранее я уже приводил формулировку задания).
При \( (a-b)^2 = 1 \) равенство (87.1) также всегда выполняется, поэтому необходимо доказать справедливость тождества лишь при \( | a - b | > 1 \).
Заметим, что равенство (87.1) симметрично относительно \( a \) и \( b \). Для определенности будем считать далее, что \[
a > b + 1 .
\tag {87.2}
\] Поскольку \[
0 \leqslant \frac{(a-b)^2-1}{ab-1} - \frac{(a-b)^2-1}{ab} < 1 ,
\] то достаточно доказать, что не существует ни одной упорядоченной тройки натуральных значений \( (a, \, b, \, c ) \) при условии (87.2), для которых выполняется двойное неравенство \[
\frac{(a-b)^2-1}{ab}
< c \leqslant
\frac{(a-b)^2-1}{ab-1} ,
\tag {87.3}
\] \[
\frac{ab - 1} {(a-b)^2-1}
\leqslant \frac 1c <
\frac{ab} {(a-b)^2-1} ,
\tag {87.4}
\] \[
abc - c
\leqslant (a-b)^2-1 <
abc .
\tag {87.5}
\] Для существования решения двойного неравенства (87.5) необходимо, чтобы следующая совокупность уравнений была разрешима в натуральных числах
\[
\left[
\begin{gathered}
(a-b)^2-1 = abc - c , \\
(a-b)^2-1 = abc - (c-1) , \\
\ldots \\
(a-b)^2-1 = abc - 1 .
\end{gathered}
\right.
\tag {87.6}
\] Сведем все эти уравнения к одному квадратному уравнению относительно переменной \( a \):
87. (Calvin Deng, ELMO/2012) Докажите, что если \( a \) и \( b \) — натуральные числа и \( ab > 1 \), то
\[
\ant { \frac{(a-b)^2-1}{ab} } =
\ant { \frac{(a-b)^2-1}{ab-1} } .
\tag {87.1}
\]
Доказательство. При \( a = b \) равенство (87.1) выполнятся для любых \( a, \, b \in \mathbb N_{>1} \).\ant { \frac{(a-b)^2-1}{ab} } =
\ant { \frac{(a-b)^2-1}{ab-1} } .
\tag {87.1}
\]
При \( (a-b)^2 = 1 \) равенство (87.1) также всегда выполняется, поэтому необходимо доказать справедливость тождества лишь при \( | a - b | > 1 \).
Заметим, что равенство (87.1) симметрично относительно \( a \) и \( b \). Для определенности будем считать далее, что \[
a > b + 1 .
\tag {87.2}
\] Поскольку \[
0 \leqslant \frac{(a-b)^2-1}{ab-1} - \frac{(a-b)^2-1}{ab} < 1 ,
\] то достаточно доказать, что не существует ни одной упорядоченной тройки натуральных значений \( (a, \, b, \, c ) \) при условии (87.2), для которых выполняется двойное неравенство \[
\frac{(a-b)^2-1}{ab}
< c \leqslant
\frac{(a-b)^2-1}{ab-1} ,
\tag {87.3}
\] \[
\frac{ab - 1} {(a-b)^2-1}
\leqslant \frac 1c <
\frac{ab} {(a-b)^2-1} ,
\tag {87.4}
\] \[
abc - c
\leqslant (a-b)^2-1 <
abc .
\tag {87.5}
\] Для существования решения двойного неравенства (87.5) необходимо, чтобы следующая совокупность уравнений была разрешима в натуральных числах
\[
\left[
\begin{gathered}
(a-b)^2-1 = abc - c , \\
(a-b)^2-1 = abc - (c-1) , \\
\ldots \\
(a-b)^2-1 = abc - 1 .
\end{gathered}
\right.
\tag {87.6}
\] Сведем все эти уравнения к одному квадратному уравнению относительно переменной \( a \):
\[ a^2 + a (-bc-2b) + (b^2 + \gamma ) = 0 ,
\tag{87.7}
\] \[
\mbox{где } \gamma = 1, \, 2, \, \ldots\, , \, c-1.
\tag {87.7*}
\] Предположим, что уравнение (87.7) имеет натуральные решения, и этими решениями являются \( a_1 \) и \( a_2 \). Тогда согласно теореме Виета имеем систему
\[
\begin {cases}
a_1 \cdot a_2 = b^2 + \gamma ,
\\[4pt]
a_1 + a_2 = bc + 2b ,
\\[4pt]
a_1, \, a_2 > b +1 .
\end {cases}
\tag {87.8}
\] Сделаем две замены \( a_1 = b + t_1 \) и \( a_2 = b + t_2 \), где \( t_1 \) и \( t_2 \) принимают натуральные значение и \( t_1, \, t_2 > 1 \).
\[
\begin {cases}
(b + t_1) (b + t_2) = b^2 + \gamma ,
\\[4pt]
(b + t_1) + (b + t_2)= b c + 2b ,
\end {cases}
\tag {87.9}
\] \[
\begin {cases}
b (t_1 + t_2) + t_1 t_2 = \gamma ,
\\[4pt]
t_1 + t_2 = b c ,
\end {cases}
\tag {87.10}
\] \[
b^2 c + t_1 t_2 = \gamma .
\tag {87.11}
\] Нетрудно видеть, что уравнение (87.11) не имеет решений в натуральных числах для любого значения \( \gamma \) из (87.7*), тогда и уравнение (87.7) не имеет решений.
Таким образом, доказано, что не выполняются неравенства (87.3) при натуральных \( a, \, b, \, c \) и \( a > b + 1 \). Следовательно, тожество (87.1) верно.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
\] \[
\mbox{где } \gamma = 1, \, 2, \, \ldots\, , \, c-1.
\tag {87.7*}
\] Предположим, что уравнение (87.7) имеет натуральные решения, и этими решениями являются \( a_1 \) и \( a_2 \). Тогда согласно теореме Виета имеем систему
\[
\begin {cases}
a_1 \cdot a_2 = b^2 + \gamma ,
\\[4pt]
a_1 + a_2 = bc + 2b ,
\\[4pt]
a_1, \, a_2 > b +1 .
\end {cases}
\tag {87.8}
\] Сделаем две замены \( a_1 = b + t_1 \) и \( a_2 = b + t_2 \), где \( t_1 \) и \( t_2 \) принимают натуральные значение и \( t_1, \, t_2 > 1 \).
\[
\begin {cases}
(b + t_1) (b + t_2) = b^2 + \gamma ,
\\[4pt]
(b + t_1) + (b + t_2)= b c + 2b ,
\end {cases}
\tag {87.9}
\] \[
\begin {cases}
b (t_1 + t_2) + t_1 t_2 = \gamma ,
\\[4pt]
t_1 + t_2 = b c ,
\end {cases}
\tag {87.10}
\] \[
b^2 c + t_1 t_2 = \gamma .
\tag {87.11}
\] Нетрудно видеть, что уравнение (87.11) не имеет решений в натуральных числах для любого значения \( \gamma \) из (87.7*), тогда и уравнение (87.7) не имеет решений.
Таким образом, доказано, что не выполняются неравенства (87.3) при натуральных \( a, \, b, \, c \) и \( a > b + 1 \). Следовательно, тожество (87.1) верно.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
