«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

22 сентября 2016 г.

\( \ant { \dfrac {n (n + 1)} {4n - 2} } = \ant { \dfrac {n + 1} 4 } \) при \( n \in \mathbb N_{>2} \)

(*) Несложное, но интересное тождество опубликовано в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
138. Докажите, что для любых натуральных значений \( n > 2 \) выполняется тождество \[
\ant { \dfrac {n (n + 1)} {4n - 2} } = \ant { \dfrac {n + 1} 4 } .
\tag {138.1}
\]
Доказательство. Очевидно, что при любых натуральных \( n \) имеет место неравенство \[
\dfrac {n + 1} 4 < \dfrac {n (n + 1)} {4n - 2} .
\tag {138.2}
\] Докажем, что не существует такого натурального \( K \), для которого выполняется условие \[
\dfrac {n + 1} 4 < K \leqslant \dfrac {n (n + 1)} {4n - 2} .
\tag {138.3}
\] Несколько равносильных преобразований приведут к неравенствам \[
n + 1 < 4K \leqslant n + 1 + \dfrac {n+1}{2n - 1} ,
\] которые не могут выполняться одновременно ни для одного натурального \( K \) при \( n > 2 \).
\( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 01:02
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.