\( \ant { \dfrac {n (n + 1)} {4n - 2} } = \ant { \dfrac {n + 1} 4 } \) при \( n \in \mathbb N_{>2} \)

(*) Несложное, но интересное тождество опубликовано в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

138. Докажите, что для любых натуральных значений \( n > 2 \) выполняется тождество \[
\ant { \dfrac {n (n + 1)} {4n - 2} } = \ant { \dfrac {n + 1} 4 } .
\tag {138.1}
\]

Доказательство. Очевидно, что при любых натуральных \( n \) имеет место неравенство \[
\dfrac {n + 1} 4 < \dfrac {n (n + 1)} {4n - 2} .
\tag {138.2}
\] Докажем, что не существует такого натурального \( K \), для которого выполняется условие \[
\dfrac {n + 1} 4 < K \leqslant \dfrac {n (n + 1)} {4n - 2} .
\tag {138.3}
\] Несколько равносильных преобразований приведут к неравенствам \[
n + 1 < 4K \leqslant n + 1 + \dfrac {n+1}{2n - 1} ,
\] которые не могут выполняться одновременно ни для одного натурального \( K \) при \( n > 2 \).
\( \color{gray}{\blacksquare} \)