«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

18 сентября 2016 г.

\( \ant { \dfrac {2x} {x^2 + 1}} + \ant x = 2 \)

На днях в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) встретилось уравнение, в котором несложный трюк значительно упростил задание.
136. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac {2x} {x^2 + 1}} + \ant x = 2 .
\tag {136.1}
\]
Решение. Заметим, что если исходное уравнение разрешимо, то его решения положительные. Немного «подправим» уравнение \[
\ant { \dfrac {2x} {x^2 + 1} - 1} + \ant x = 1 ,
\quad \mbox {или}
\tag {136.2}
\] \[
\ant { - \dfrac { (x - 1)^2 } {x^2 + 1} } + \ant x = 1 .
\tag {136.3}
\] Значение \( x = 1 \) является решением (136.3), поэтому сразу пишем в ответ.
Если \( x \not= 1 \) и \( x > 0 \), то нетрудно убедиться, что \(
\ant { - \dfrac { (x - 1)^2 } {x^2 + 1} } = -1 \). Тогда от уравнения остается лишь \( \ant x = 2 \).

Ответ: \(
\bigl\{ 1 \bigr\} \bigcup \, \bigl[ 2; \, 3 \bigr)
\).


Автор: И.Л. на 02:10
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.