На днях в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) встретилось уравнение, в котором несложный трюк значительно упростил задание.
\ant { \dfrac {2x} {x^2 + 1} - 1} + \ant x = 1 ,
\quad \mbox {или}
\tag {136.2}
\] \[
\ant { - \dfrac { (x - 1)^2 } {x^2 + 1} } + \ant x = 1 .
\tag {136.3}
\] Значение \( x = 1 \) является решением (136.3), поэтому сразу пишем в ответ.
Если \( x \not= 1 \) и \( x > 0 \), то нетрудно убедиться, что \(
\ant { - \dfrac { (x - 1)^2 } {x^2 + 1} } = -1 \). Тогда от уравнения остается лишь \( \ant x = 2 \).
Ответ: \(
\bigl\{ 1 \bigr\} \bigcup \, \bigl[ 2; \, 3 \bigr)
\).
136. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac {2x} {x^2 + 1}} + \ant x = 2 .
\tag {136.1}
\]
Решение. Заметим, что если исходное уравнение разрешимо, то его решения положительные. Немного «подправим» уравнение \[\ant { \dfrac {2x} {x^2 + 1}} + \ant x = 2 .
\tag {136.1}
\]
\ant { \dfrac {2x} {x^2 + 1} - 1} + \ant x = 1 ,
\quad \mbox {или}
\tag {136.2}
\] \[
\ant { - \dfrac { (x - 1)^2 } {x^2 + 1} } + \ant x = 1 .
\tag {136.3}
\] Значение \( x = 1 \) является решением (136.3), поэтому сразу пишем в ответ.
Если \( x \not= 1 \) и \( x > 0 \), то нетрудно убедиться, что \(
\ant { - \dfrac { (x - 1)^2 } {x^2 + 1} } = -1 \). Тогда от уравнения остается лишь \( \ant x = 2 \).
Ответ: \(
\bigl\{ 1 \bigr\} \bigcup \, \bigl[ 2; \, 3 \bigr)
\).
