\( \ant { \dfrac {n (n + 1)} {4n - 2} } = \ant { \dfrac {n + 1} 4 } \) при \( n \in \mathbb N_{>2} \)

(*) Несложное, но интересное тождество опубликовано в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

138. Докажите, что для любых натуральных значений \( n > 2 \) выполняется тождество \[
\ant { \dfrac {n (n + 1)} {4n - 2} } = \ant { \dfrac {n + 1} 4 } .
\tag {138.1}
\]

\( f(x) = \mant x - \ant x \)

Интересная функция мне встретилась.

137. Найдите обратную функцию к функции \(
f(x) = \mant x - \ant x \).

\( \ant { \dfrac {2x} {x^2 + 1}} + \ant x = 2 \)

На днях в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) встретилось уравнение, в котором несложный трюк значительно упростил задание.

136. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac {2x} {x^2 + 1}} + \ant x = 2 .
\tag {136.1}
\]

\( \ant { \sqrt {3a + 1} + \sqrt {3b + 1} + \sqrt {3c + 1} } \)

Следующая задача из командного тура World Mathematics Team Championship (2010/Advanced Level) аналогична задаче из предыдущего поста.

135. Определите значение \[
\ant {
\sqrt {3a + 1} + \sqrt {3b + 1} + \sqrt {3c + 1}
} ,
\] где \( a, \, b, \, c \in \mathbb R_{>0} \) и \(
a + b + c = 1\).

\( \ant { \sqrt {a^2 + 1} + \sqrt {b^2 + 1} + \sqrt {c^2 + 1} } \)

Очередная задача взята из командного тура World Mathematics Team Championship (2011/Advanced Level).

134. Определите значение \[
\ant {
\sqrt {a^2 + 1} + \sqrt {b^2 + 1} + \sqrt {c^2 + 1}
} ,
\] где \( a, \, b, \, c \in \mathbb R_{>0} \) и \(
a + b + c = 1\).

\( f (x) = \dfrac {\ant x} x - a \)

Следующая задача предлагалась в индивидуальном туре World Mathematics Team Championship (2014/Advanced Level).

133. Найдите все значения параметра \( a \), при которых функция \(
f (x) = \dfrac {\ant x} x - a \) равна \( 0 \) при трех положительных действительных значениях аргумента.

\( \ant { \frac{(a-b)^2-1}{ab} } = \ant { \frac{(a-b)^2-1}{ab-1} } \)

Следующая задача попортила мне много крови (ранее я уже приводил формулировку задания).

87. (Calvin Deng, ELMO/2012) Докажите, что если \( a \) и \( b \) — натуральные числа и \( ab > 1 \), то \[
\ant { \frac{(a-b)^2-1}{ab} } =
\ant { \frac{(a-b)^2-1}{ab-1} } .
\tag {87.1}
\]