\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \ant { \log_2 \dfrac {2n-1} {2k-1} } = n -1 \)

(*) Хитроумная сумма опубликована в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

128. Вычислите сумму \[
\sum_{k=1}^n
\ant { \log_2 \dfrac {2n-1} {2k-1} } .
\tag {128.1}
\]

Доказательство. Последнее слагаемое равно \( 0 \), поэтому будем вычислять сумму \( (n \geqslant 2) \) \[
S(n) =
\sum_{k=1}^{n-1}
\ant { \log_2 \dfrac {2n-1} {2k-1} } ,
\quad S(1) = 0 .
\tag {128.2}
\] В дальнейшем нам пригодится тождество, которое выполняется для любых нечетных \( 0 < b < a \) \[
\ant { \log_2 \dfrac ab } =
\ant { \log_2 \dfrac {a-1} b } .
\tag {128.3}
\] (Тождество понять несложно, однако строгое обоснование, как говорится, не помешает. Доказательство данного тождества будет опубликовано в одном их следующих сообщений.)

Пусть \( n \) — четное число (т.е. \( \boldsymbol {n = 2m} \)).
Заметим, что \[
\ant { \log_2 \dfrac {2n-1} {2k-1} } =
\begin {cases}
1, \, 2, \, \ldots , & \mbox {если }
k = 1, \, 2, \, \ldots, \, m,
\\[4pt]
0 , & \mbox {если }
k = m+1, \, m+2, \, \ldots, \, 2m .
\end {cases}
\] Тогда \[
S(2m) =
\sum_{k=1}^m
\ant { \log_2 \dfrac {4m-1} {2k-1} }
\stackrel {\small\mbox {(128.3)}} {=}
\sum_{k=1}^m
\ant { \log_2 \dfrac {4m-2} {2k-1} } =
\] \[
=
\sum_{k=1}^m
\ant { \log_2 \dfrac {2(2m-1)} {2k-1} } =
\sum_{k=1}^m
\ant { 1 + \log_2 \dfrac {2m-1} {2k-1} } =

\] \[
=
m +
\sum_{k=1}^m
\ant { \log_2 \dfrac {2m-1} {2k-1} }
\stackrel {\small\mbox {(128.1)}} {=}
m + S(m) .
\]
Теперь рассмотрим другой случай, когда \( n \) — нечетное число (т.е.\(
\boldsymbol {n = 2m - 1} \)). Здесь похожая ситуация с нулевыми слагаемыми суммы \[
\ant { \log_2 \dfrac {2n-1} {2k-1} } =
\begin {cases}
1, \, 2, \, \ldots , & \mbox {если }
k = 1, \, 2, \, \ldots, \, m-1,
\\[4pt]
0 , & \mbox {если }
k = m, \, m+2, \, \ldots, \, 2m-1 .
\end {cases}
\] Тогда \[
S(2m-1) =
\sum_{k=1}^{m-1}
\ant { \log_2 \dfrac {4m-3} {2k-1} }
\stackrel {\small\mbox {(128.3)}} {=}
\sum_{k=1}^{m-1}
\ant { \log_2 \dfrac {4m-4} {2k-1} } =
\] \[
=
\sum_{k=1}^{m-1}
\ant { \log_2 \dfrac {2(2m-2)} {2k-1} } =
m-1 +
\sum_{k=1}^{m-1}
\ant { \log_2 \dfrac {2m-2} {2k-1} }
\stackrel {\small\mbox {(128.3)}} {=}
\] \[
=
m-1 +
\sum_{k=1}^{m-1}
\ant {\log_2 \dfrac {2m-1} {2k-1} }
\stackrel {\small\mbox {(128.2)}} {=}
m-1 + S(m) .
\] Таким образом, имеем \[
\begin {cases}
S(1) = 0 ,
\\[4pt]
S(2m) = m + S(m) ,
\\[4pt]
S(2m-1) = m-1 + S(m) .
\end {cases}
\] Из данных соотношений несложно сделать вывод, что \[
S(n) = 1 + S(n-1), \quad S(1) = 0.
\]
Ответ: \( S(n) = n - 1 \).