(*) Другая опубликованная в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) сумма значительно проще предыдущей.
\sum_{k=1}^{m^2-1}
\dfrac 1 {2 \ant {\sqrt k} + 1} =
\sum_{n=1}^{m-1}
\sum_{i=n^2}^{(n+1)^2-1}
\dfrac 1 {2n + 1} =
\sum_{n=1}^{m-1} 1 = m - 1.
\]
Ответ: \( m - 1 \).
129. Вычислите сумму \[
\sum_{k=1}^{m^2-1}
\dfrac 1 {2 \ant {\sqrt k} + 1} .
\tag {129.1}
\]
Решение. \[\sum_{k=1}^{m^2-1}
\dfrac 1 {2 \ant {\sqrt k} + 1} .
\tag {129.1}
\]
\sum_{k=1}^{m^2-1}
\dfrac 1 {2 \ant {\sqrt k} + 1} =
\sum_{n=1}^{m-1}
\sum_{i=n^2}^{(n+1)^2-1}
\dfrac 1 {2n + 1} =
\sum_{n=1}^{m-1} 1 = m - 1.
\]
Ответ: \( m - 1 \).
