«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

7 августа 2016 г.

\( \dfrac 1 {(-99) \cdot (-89)} + \dfrac 1 {(-89) \cdot (-79)} + \ldots + \dfrac 1 {81 \cdot 91} + + \dfrac 1 {91 \cdot 101} \)

(*) Разминочная задача опубликована в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com). Я немного подправил условие, чтобы арифметика была несложной.
132. Вычислите \( \ant S \) и \( \mant S \), где \[
S =
\dfrac 1 {(-99) \cdot (-89)} +
\dfrac 1 {(-89) \cdot (-79)} + \ldots +
\dfrac 1 {81 \cdot 91} +
+ \dfrac 1 {91 \cdot 101} .
\]
Решение. Пусть \( a_n \) — \( n \)-ое слагаемое суммы \( S \). Нетрудно догадаться, что \[
a_n =
\dfrac 1 {(1+10n) (11 + 10n)} =
\dfrac 1 {10} \cdot \left(
\dfrac 1 {1+10n} - \dfrac 1 {11 + 10n }
\right) .
\] Тогда \[
S =
\sum_{k=-10}^{10}
\dfrac 1 {(1+10n) (11 + 10n)} =
\dfrac 1 {10} \cdot \left(
- \dfrac 1 {99} - \dfrac 1 {101}
\right) =
- \dfrac {20} {99 \cdot 101} .
\]
Ответ: \( \ant S = -1 \), \(
\mant S =\dfrac {9979} {9999} \).


Автор: И.Л. на 16:21
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.