\( \dfrac 1 {(-99) \cdot (-89)} + \dfrac 1 {(-89) \cdot (-79)} + \ldots + \dfrac 1 {81 \cdot 91} + + \dfrac 1 {91 \cdot 101} \)

(*) Разминочная задача опубликована в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com). Я немного подправил условие, чтобы арифметика была несложной.

132. Вычислите \( \ant S \) и \( \mant S \), где \[
S =
\dfrac 1 {(-99) \cdot (-89)} +
\dfrac 1 {(-89) \cdot (-79)} + \ldots +
\dfrac 1 {81 \cdot 91} +
+ \dfrac 1 {91 \cdot 101} .
\]

Решение. Пусть \( a_n \) — \( n \)-ое слагаемое суммы \( S \). Нетрудно догадаться, что \[
a_n =
\dfrac 1 {(1+10n) (11 + 10n)} =
\dfrac 1 {10} \cdot \left(
\dfrac 1 {1+10n} - \dfrac 1 {11 + 10n }
\right) .
\] Тогда \[
S =
\sum_{k=-10}^{10}
\dfrac 1 {(1+10n) (11 + 10n)} =
\dfrac 1 {10} \cdot \left(
- \dfrac 1 {99} - \dfrac 1 {101}
\right) =
- \dfrac {20} {99 \cdot 101} .
\]
Ответ: \( \ant S = -1 \), \(
\mant S =\dfrac {9979} {9999} \).