«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

2 августа 2016 г.

\( \bigant {5x - 2} - \ant {4x - 1} = 4x - 6 \)

Коварная задача, при решении которой я не заметил одного подводного камня, опубликована в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
124. Решите уравнение \[
\bigant {5x - 2} - \bigant {4x - 1} = 4x - 6 .
\tag {124.1}
\]
Решение. Понятно, что правая часть (124.1) — целое число, значит \( 4x \) должно принимать целые значения.
Вопрос: можно ли снять знак антье у \( \ant {4x - 1} \)? (Именно здесь я попался.) Разумеется, знак можно снять, но обязательно надо помнить, что \( 4x \in \mathbb Z \), т.е. исходное уравнение равносильно \[
\begin {cases}
\bigant {5x - 2} - \bigl( 4x - 1 \bigr) = 4x - 6 ,
\\[4pt]
4x \in \mathbb Z .
\end {cases}
\tag {124.2}
\] Дальнейшее приведем без пояснений. \[
\bigant {5x + 5} = 8x ,
\tag {124.3}
\] \[
8x \leqslant 5x + 5 < 8x + 1 ,
\] \[
4 < 3x \leqslant 5,
\] \[
\dfrac {16} 3 < 4x \leqslant \dfrac {20} 3,
\] \[
4x = 6 .
\]
Ответ: \(
\dfrac 3 2
\).

Замечание. Если «потерять» условие \( 4x \in \mathbb Z \), то появится постороннее решение уравнения (124.3).


Автор: И.Л. на 01:26
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.