\( \ant x + \ant y + \ant {x+y} \leqslant \ant {2x} + \ant {2y} \)

Предлагаю алгебраическое доказательство известного неравенства.

130. Докажите, что для любых действительных \( x \) и \( y \) выполняется неравенство \[
\ant x + \ant y + \ant {x+y}
\leqslant
\ant {2x} + \ant {2y} .
\tag {130.1}
\]

Доказательство. Воспользуемся формулой \(
\ant {2t} = \ant t + \ant {t + \dfrac 12} \). Тогда \[
\ant x + \ant y + \ant {x+y}
\leqslant
\ant x + \ant {x + \dfrac 12} +
\ant y + \ant {y + \dfrac 12},
\] \[
\ant {x+y}
\leqslant
\ant {x + \dfrac 12} +
\ant {y + \dfrac 12},
\] \[
\ant {x - \ant {x + \dfrac 12} +y - \ant {y + \dfrac 12}}
\leqslant 0 ,
\] выразим два антье, стоящих внутри, через соответствующие мантиссы, приведем подобные и вынесем \( 1 \) из-под знака антье, \[
\ant {\mant {x + \dfrac 12} + \mant {y + \dfrac 12}}
\leqslant 1 .
\] Очевидно, что последнее неравенство выполняется всегда.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)