«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

3 августа 2016 г.

\( \ant x + \ant y + \ant {x+y} \leqslant \ant {2x} + \ant {2y} \)

Предлагаю алгебраическое доказательство известного неравенства.
130. Докажите, что для любых действительных \( x \) и \( y \) выполняется неравенство \[
\ant x + \ant y + \ant {x+y}
\leqslant
\ant {2x} + \ant {2y} .
\tag {130.1}
\]
Доказательство. Воспользуемся формулой \(
\ant {2t} = \ant t + \ant {t + \dfrac 12} \). Тогда \[
\ant x + \ant y + \ant {x+y}
\leqslant
\ant x + \ant {x + \dfrac 12} +
\ant y + \ant {y + \dfrac 12},
\] \[
\ant {x+y}
\leqslant
\ant {x + \dfrac 12} +
\ant {y + \dfrac 12},
\] \[
\ant {x - \ant {x + \dfrac 12} +y - \ant {y + \dfrac 12}}
\leqslant 0 ,
\] выразим два антье, стоящих внутри, через соответствующие мантиссы, приведем подобные и вынесем \( 1 \) из-под знака антье, \[
\ant {\mant {x + \dfrac 12} + \mant {y + \dfrac 12}}
\leqslant 1 .
\] Очевидно, что последнее неравенство выполняется всегда.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 03:29
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.