«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

5 августа 2016 г.

\( \ant { \log_2 \dfrac {a-1}b } = \ant { \log_2 \dfrac ab } \)


(*) В задаче 128 использовалось следующее равенство.
131. Докажите, что для любых нечетных \( 0 < b < a \) выполняется равенство \[
\ant { \log_2 \dfrac {a-1}b } =
\ant { \log_2 \dfrac ab } .
\tag {131.1}
\]
Доказательство. Поскольку \[
\Bigant { \log_a x } =
\Bigant { \log_a \ant x }
\quad \mbox {при }
x \geqslant 1,
\ a \in \mathbb N_{\geqslant 2}
\] (см. задачник «А. и м.» п.2.10. «Снятие знака вложенного антье»), то достаточно доказать равенство \[
\ant { \log_2 \ant { \dfrac {a-1}b } } =
\ant { \log_2 \ant { \dfrac ab } } .
\tag {131.2}
\] Пусть \(
\ant { \log_2 \ant { \dfrac ab } } = k \) \(
(k \in \mathbb Z) \), значит, \[
k \leqslant \log_2 \ant { \dfrac ab } < k+1,
\] \[
2^k \leqslant \ant { \dfrac ab } < 2^{k+1} ,
\] \[
2^k < \dfrac ab < 2^{k+1}
\] (если \( \dfrac ab \) — целое число, то оно нечетное, т.к. \( a \) и \( b \) — нечетные числа), \[
2^k \leqslant \dfrac {a-1}b < 2^{k+1} ,
\] \[
2^k \leqslant \ant { \dfrac {a-1}b } < 2^{k+1} ,
\] \[
k \leqslant \log_2 \ant { \dfrac {a-1}b } < k+1,
\] \[
\ant { \log_2 \ant { \dfrac {a-1}b } } = k .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 03:15
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.