\( \ant { \log_2 \dfrac {a-1}b } = \ant { \log_2 \dfrac ab } \)

(*) В задаче 128 использовалось следующее равенство.

131. Докажите, что для любых нечетных \( 0 < b < a \) выполняется равенство \[
\ant { \log_2 \dfrac {a-1}b } =
\ant { \log_2 \dfrac ab } .
\tag {131.1}
\]

Доказательство. Поскольку \[
\Bigant { \log_a x } =
\Bigant { \log_a \ant x }
\quad \mbox {при }
x \geqslant 1,
\ a \in \mathbb N_{\geqslant 2}
\] (см. задачник «А. и м.» п.2.10. «Снятие знака вложенного антье»), то достаточно доказать равенство \[
\ant { \log_2 \ant { \dfrac {a-1}b } } =
\ant { \log_2 \ant { \dfrac ab } } .
\tag {131.2}
\] Пусть \(
\ant { \log_2 \ant { \dfrac ab } } = k \) \(
(k \in \mathbb Z) \), значит, \[
k \leqslant \log_2 \ant { \dfrac ab } < k+1,
\] \[
2^k \leqslant \ant { \dfrac ab } < 2^{k+1} ,
\] \[
2^k < \dfrac ab < 2^{k+1}
\] (если \( \dfrac ab \) — целое число, то оно нечетное, т.к. \( a \) и \( b \) — нечетные числа), \[
2^k \leqslant \dfrac {a-1}b < 2^{k+1} ,
\] \[
2^k \leqslant \ant { \dfrac {a-1}b } < 2^{k+1} ,
\] \[
k \leqslant \log_2 \ant { \dfrac {a-1}b } < k+1,
\] \[
\ant { \log_2 \ant { \dfrac {a-1}b } } = k .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)