«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

2 августа 2016 г.

\( \alpha x + \beta \mant x = \gamma \)

Накрученная формулировка получилась у следующей задачи. Такое задание стало побочным эффектом при решении другой задачи, которую я приведу в одном из следующих постов.
125. Найдите действительные \( \alpha \) и \( \beta \) такие, что для любого \( \gamma \in \mathbb R \) уравнение \[
\alpha x + \beta \mant x = \gamma
\tag {125.1}
\] имеет не более одного решения.
Решение. Будем решать с использованием графиков.
(К сожалению, сделать хорошие графики занимает значительное время. Даю слово, несколько позже я включу в решение графики.)
1) Очевидно, что \( \alpha \not= 0 \), \( \beta = 0 \) сразу пишем в ответ.
2) Также нетрудно видеть, что значения \( \alpha > 0 \), \( \beta > 0 \) не подходят. (Это видно из графика \( f(x) = \alpha x + \beta \mant x \), или можно доказать, что \( \alpha x + \beta \mant x  = 0 \) имеет два решения.)
3) Аналогично отбрасываем случай \( \alpha < 0 \), \( \beta < 0 \).
4) Пусть \(
\alpha > 0 \), \( \beta < 0 \). Постройте график \(
f(x) = \alpha x + \beta \mant x \) при \( 0 \leqslant x < 2 \), этого будет вполне достаточно для того, чтобы сделать выводы: \[
\begin {cases}
2\alpha + \beta \geqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha + \beta \not= 0 ,
\\[4pt]
\alpha > 0 , \ \beta < 0 .
\end {cases}
\]
5) Последний случай \(
\alpha < 0 \), \( \beta > 0 \) подобен предыдущему: \[
\begin {cases}
2\alpha + \beta \leqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha + \beta \not= 0 ,
\\[4pt]
\alpha < 0 , \ \beta > 0 .
\end {cases}
\]

Ответ: 1) \(
\alpha \not= 0, \ \beta = 0 \);

2) \(
\begin {cases}
2\alpha + \beta \geqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha + \beta \not= 0 ,
\\[4pt]
\alpha > 0 , \ \beta < 0
\end {cases} ;
\)

3) \(
\begin {cases}
2\alpha + \beta \leqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha + \beta \not= 0 ,
\\[4pt]
\alpha < 0 , \ \beta > 0 .
\end {cases}
\)


Автор: И.Л. на 03:00
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.