\( \alpha x + \beta \mant x = \gamma \)

Накрученная формулировка получилась у следующей задачи. Такое задание стало побочным эффектом при решении другой задачи, которую я приведу в одном из следующих постов.

125. Найдите действительные \( \alpha \) и \( \beta \) такие, что для любого \( \gamma \in \mathbb R \) уравнение \[
\alpha x + \beta \mant x = \gamma
\tag {125.1}
\] имеет не более одного решения.

Решение. Будем решать с использованием графиков.
(К сожалению, сделать хорошие графики занимает значительное время. Даю слово, несколько позже я включу в решение графики.)
1) Очевидно, что \( \alpha \not= 0 \), \( \beta = 0 \) сразу пишем в ответ.
2) Также нетрудно видеть, что значения \( \alpha > 0 \), \( \beta > 0 \) не подходят. (Это видно из графика \( f(x) = \alpha x + \beta \mant x \), или можно доказать, что \( \alpha x + \beta \mant x  = 0 \) имеет два решения.)
3) Аналогично отбрасываем случай \( \alpha < 0 \), \( \beta < 0 \).
4) Пусть \(
\alpha > 0 \), \( \beta < 0 \). Постройте график \(
f(x) = \alpha x + \beta \mant x \) при \( 0 \leqslant x < 2 \), этого будет вполне достаточно для того, чтобы сделать выводы: \[
\begin {cases}
2\alpha + \beta \geqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha + \beta \not= 0 ,
\\[4pt]
\alpha > 0 , \ \beta < 0 .
\end {cases}
\]
5) Последний случай \(
\alpha < 0 \), \( \beta > 0 \) подобен предыдущему: \[
\begin {cases}
2\alpha + \beta \leqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha + \beta \not= 0 ,
\\[4pt]
\alpha < 0 , \ \beta > 0 .
\end {cases}
\]

Ответ: 1) \(
\alpha \not= 0, \ \beta = 0 \);

2) \(
\begin {cases}
2\alpha + \beta \geqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha + \beta \not= 0 ,
\\[4pt]
\alpha > 0 , \ \beta < 0
\end {cases} ;
\)

3) \(
\begin {cases}
2\alpha + \beta \leqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha + \beta \not= 0 ,
\\[4pt]
\alpha < 0 , \ \beta > 0 .
\end {cases}
\)