«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

2 августа 2016 г.

\( \alpha x + \beta \ant x = \gamma \)

Следующая задача из группы The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) приглянулась мне хитроватым заданием и возможностью решения графическим методом. Мне нравится применять этот метод, удается наглядно и быстро получить ответ.
126. Пусть \( \alpha, \, \beta \in \mathbb R \). Найдите необходимое и достаточное условие, чтобы уравнение \[
\alpha x + \beta \ant x = \alpha y + \beta \ant y
\tag {126.1}
\] не имело других решений, кроме \( x = y \).
Предлагаю решить эквивалентное задание.
127. Найдите действительные \( \alpha \) и \( \beta \) такие, что для любого \( \gamma \in \mathbb R \) уравнение \[
\alpha x + \beta \ant x = \gamma
\tag {127.1}
\] имеет не более одного решения.
Решение. Будем решать с использованием графиков, как и задачу 125 (задачи очень похожи).
1) Очевидно, что \( \alpha \not= 0 \), \( \beta = 0 \) сразу пишем в ответ.
2) Также нетрудно видеть, что значения \(
\alpha, \, \beta > 0 \) \( ( \alpha, \, \beta < 0 ) \) не подходят.
3) Пусть \(
\alpha > 0 \), \( \beta < 0 \). Постройте график \(
f(x) = \alpha x + \beta \ant x \) при \( 0 \leqslant x < 2 \), этого будет вполне достаточно для того, чтобы сделать выводы: \[
\begin {cases}
2\alpha + \beta \leqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha > 0 , \ \beta < 0 .
\end {cases}
\]
4) Случай \(
\alpha < 0 \), \( \beta > 0 \) сводится к предыдущему.

Ответ: 1) \(
\alpha \not= 0, \ \beta = 0 \);

2) \(
\begin {cases}
2\alpha + \beta \leqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha > 0 , \ \beta < 0
\end {cases} ;
\)

3) \(
\begin {cases}
2\alpha + \beta \geqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha < 0 , \ \beta > 0 .
\end {cases}
\)

Примечание. Уравнение (127.1) можно привести к виду (125.1) и убедиться, что решения совпадают.


Автор: И.Л. на 09:17
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.