\( \alpha x + \beta \ant x = \gamma \)

Следующая задача из группы The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) приглянулась мне хитроватым заданием и возможностью решения графическим методом. Мне нравится применять этот метод, удается наглядно и быстро получить ответ.

126. Пусть \( \alpha, \, \beta \in \mathbb R \). Найдите необходимое и достаточное условие, чтобы уравнение \[
\alpha x + \beta \ant x = \alpha y + \beta \ant y
\tag {126.1}
\] не имело других решений, кроме \( x = y \).

Предлагаю решить эквивалентное задание.

127. Найдите действительные \( \alpha \) и \( \beta \) такие, что для любого \( \gamma \in \mathbb R \) уравнение \[
\alpha x + \beta \ant x = \gamma
\tag {127.1}
\] имеет не более одного решения.

Решение. Будем решать с использованием графиков, как и задачу 125 (задачи очень похожи).
1) Очевидно, что \( \alpha \not= 0 \), \( \beta = 0 \) сразу пишем в ответ.
2) Также нетрудно видеть, что значения \(
\alpha, \, \beta > 0 \) \( ( \alpha, \, \beta < 0 ) \) не подходят.
3) Пусть \(
\alpha > 0 \), \( \beta < 0 \). Постройте график \(
f(x) = \alpha x + \beta \ant x \) при \( 0 \leqslant x < 2 \), этого будет вполне достаточно для того, чтобы сделать выводы: \[
\begin {cases}
2\alpha + \beta \leqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha > 0 , \ \beta < 0 .
\end {cases}
\]
4) Случай \(
\alpha < 0 \), \( \beta > 0 \) сводится к предыдущему.

Ответ: 1) \(
\alpha \not= 0, \ \beta = 0 \);

2) \(
\begin {cases}
2\alpha + \beta \leqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha > 0 , \ \beta < 0
\end {cases} ;
\)

3) \(
\begin {cases}
2\alpha + \beta \geqslant 0 ,
\\[4pt]
\alpha < 0 , \ \beta > 0 .
\end {cases}
\)

Примечание. Уравнение (127.1) можно привести к виду (125.1) и убедиться, что решения совпадают.