\( \dfrac 1 {(-99) \cdot (-89)} + \dfrac 1 {(-89) \cdot (-79)} + \ldots + \dfrac 1 {81 \cdot 91} + + \dfrac 1 {91 \cdot 101} \)

(*) Разминочная задача опубликована в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com). Я немного подправил условие, чтобы арифметика была несложной.

132. Вычислите \( \ant S \) и \( \mant S \), где \[
S =
\dfrac 1 {(-99) \cdot (-89)} +
\dfrac 1 {(-89) \cdot (-79)} + \ldots +
\dfrac 1 {81 \cdot 91} +
+ \dfrac 1 {91 \cdot 101} .
\]

\( \ant { \log_2 \dfrac {a-1}b } = \ant { \log_2 \dfrac ab } \)

(*) В задаче 128 использовалось следующее равенство.

131. Докажите, что для любых нечетных \( 0 < b < a \) выполняется равенство \[
\ant { \log_2 \dfrac {a-1}b } =
\ant { \log_2 \dfrac ab } .
\tag {131.1}
\]

\( \ant x + \ant y + \ant {x+y} \leqslant \ant {2x} + \ant {2y} \)

Предлагаю алгебраическое доказательство известного неравенства.

130. Докажите, что для любых действительных \( x \) и \( y \) выполняется неравенство \[
\ant x + \ant y + \ant {x+y}
\leqslant
\ant {2x} + \ant {2y} .
\tag {130.1}
\]

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{m^2-1} \dfrac 1 {2 \ant {\sqrt k} + 1} \)

(*) Другая опубликованная в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) сумма значительно проще предыдущей.

129. Вычислите сумму \[
\sum_{k=1}^{m^2-1}
\dfrac 1 {2 \ant {\sqrt k} + 1} .
\tag {129.1}
\]

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \ant { \log_2 \dfrac {2n-1} {2k-1} } = n -1 \)

(*) Хитроумная сумма опубликована в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

128. Вычислите сумму \[
\sum_{k=1}^n
\ant { \log_2 \dfrac {2n-1} {2k-1} } .
\tag {128.1}
\]

\( \alpha x + \beta \ant x = \gamma \)

Следующая задача из группы The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) приглянулась мне хитроватым заданием и возможностью решения графическим методом. Мне нравится применять этот метод, удается наглядно и быстро получить ответ.

126. Пусть \( \alpha, \, \beta \in \mathbb R \). Найдите необходимое и достаточное условие, чтобы уравнение \[
\alpha x + \beta \ant x = \alpha y + \beta \ant y
\tag {126.1}
\] не имело других решений, кроме \( x = y \).

Предлагаю решить эквивалентное задание.

127. Найдите действительные \( \alpha \) и \( \beta \) такие, что для любого \( \gamma \in \mathbb R \) уравнение \[
\alpha x + \beta \ant x = \gamma
\tag {127.1}
\] имеет не более одного решения.

\( \alpha x + \beta \mant x = \gamma \)

Накрученная формулировка получилась у следующей задачи. Такое задание стало побочным эффектом при решении другой задачи, которую я приведу в одном из следующих постов.

125. Найдите действительные \( \alpha \) и \( \beta \) такие, что для любого \( \gamma \in \mathbb R \) уравнение \[
\alpha x + \beta \mant x = \gamma
\tag {125.1}
\] имеет не более одного решения.

\( \bigant {5x - 2} - \ant {4x - 1} = 4x - 6 \)

Коварная задача, при решении которой я не заметил одного подводного камня, опубликована в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

124. Решите уравнение \[
\bigant {5x - 2} - \bigant {4x - 1} = 4x - 6 .
\tag {124.1}
\]