\( \Bigant { \sqrt {(x + y)^2 - 2y} } = \sqrt {x^2 + (y + 1)^2} - \sqrt {x^2 + y^2} \)

Необычное уравнение в целых числах встретилось в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

119. Найдите все целые решения уравнения \[
\ant { \sqrt {(x + y)^2 - 2y} }
=
\sqrt {x^2 + (y + 1)^2} - \sqrt {x^2 + y^2} .
\tag {119.1}
\]

Решение. Во-первых, левая часть (119.1) принимает неотрицательные целые значения.
Во-вторых, нетрудно определить, что правая часть (119.1) не может быть больше \( 1 \), поскольку
\[
\sqrt {x^2 + (y + 1)^2} - \sqrt {x^2 + y^2}
\leqslant
\] \[
\leqslant
\dfrac {2y + 1} {\sqrt {x^2 + (y + 1)^2} + \sqrt {x^2 + y^2} }
\leqslant
\dfrac {2y + 1} { \bigl| y + 1 \bigr| + \bigl| y \bigr|}
\leqslant 1
\quad \mbox {при }
y \geqslant 0 .
\] Значит, правая часть (119.1) равна \( 0 \) или \( 1 \).

Условие \(
\sqrt {x^2 + (y + 1)^2} - \sqrt {x^2 + y^2} = 0
\) не выполняется при целых значениях \( x \) и \( y \).
А условие \(
\sqrt {x^2 + (y + 1)^2} - \sqrt {x^2 + y^2} = 1
\) \( ( x, \, y \in \mathbb Z ) \) имеет место лишь при \( x = 0 \).
Остается найти такие целые положительные значения \( y \), при которых антье, стоящее в левой части (119.1), равно \( 1 \).

Ответ: \( \bigl( 0; \ 3 \bigr) \).