«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

29 июля 2016 г.

\( \Bigant { \sqrt {(x + y)^2 - 2y} } = \sqrt {x^2 + (y + 1)^2} - \sqrt {x^2 + y^2} \)

Необычное уравнение в целых числах встретилось в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
119. Найдите все целые решения уравнения \[
\ant { \sqrt {(x + y)^2 - 2y} }
=
\sqrt {x^2 + (y + 1)^2} - \sqrt {x^2 + y^2} .
\tag {119.1}
\]
Решение. Во-первых, левая часть (119.1) принимает неотрицательные целые значения.
Во-вторых, нетрудно определить, что правая часть (119.1) не может быть больше \( 1 \), поскольку
\[
\sqrt {x^2 + (y + 1)^2} - \sqrt {x^2 + y^2}
\leqslant
\] \[
\leqslant
\dfrac {2y + 1} {\sqrt {x^2 + (y + 1)^2} + \sqrt {x^2 + y^2} }
\leqslant
\dfrac {2y + 1} { \bigl| y + 1 \bigr| + \bigl| y \bigr|}
\leqslant 1
\quad \mbox {при }
y \geqslant 0 .
\] Значит, правая часть (119.1) равна \( 0 \) или \( 1 \).

Условие \(
\sqrt {x^2 + (y + 1)^2} - \sqrt {x^2 + y^2} = 0
\) не выполняется при целых значениях \( x \) и \( y \).
А условие \(
\sqrt {x^2 + (y + 1)^2} - \sqrt {x^2 + y^2} = 1
\) \( ( x, \, y \in \mathbb Z ) \) имеет место лишь при \( x = 0 \).
Остается найти такие целые положительные значения \( y \), при которых антье, стоящее в левой части (119.1), равно \( 1 \).

Ответ: \( \bigl( 0; \ 3 \bigr) \).


Автор: И.Л. на 17:44
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.