\( \ant {x^2} - \ant x ^2 = 100 \)

В группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) встретилось задание с необычной формулировкой. Приведенное решение мне не понравилось. Предлагаю свое решение.

123. Найдите антье наименьшего действительного решения уравнения \[
\ant {x^2} - \ant x ^2 = 100 .
\tag {123.1}
\]

Решение. Используя замену \( x = n + \alpha \), где \( n \in \mathbb Z \), \(
0 \leqslant \alpha < 1 \), приведем исходное уравнение к виду \[
\ant { 2n \alpha + \alpha^2 } = 100 .
\tag {123.2}
\] Понятно, что решение уравнения (123.2) должно удовлетворять условию \( n \geqslant 50 \), иначе выражение, стоящее под знаком антье, меньше \( 100 \).
Пусть \( \ant x = 50 \). Тогда исходное уравнение примет вид \[
\ant {x^2} = 2600 ,
\tag {123.3}
\]\[
\mbox {или }
2600 \leqslant x^2 < 2601 ,
\tag {123.4}
\] \[
\mbox {или }
50 < \sqrt {2600} \leqslant x < 51 .
\tag {123.5}
\] Неравенство (123.5) показывает, что существуют такие значения \(
50 < x < 51 \), при которых выполняется равенство (123.3). Следовательно, такие значения \( x \) являются решениями исходного уравнения.

Заметим, что не имеет смысла вычислять наименьшее решение уравнения (123.1), достаточно определить антье этого значения.

Ответ: \(
50
\).