«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

30 июля 2016 г.

\( \ant {x^2} - \ant x ^2 = 100 \)

В группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) встретилось задание с необычной формулировкой. Приведенное решение мне не понравилось. Предлагаю свое решение.
123. Найдите антье наименьшего действительного решения уравнения \[
\ant {x^2} - \ant x ^2 = 100 .
\tag {123.1}
\]
Решение. Используя замену \( x = n + \alpha \), где \( n \in \mathbb Z \), \(
0 \leqslant \alpha < 1 \), приведем исходное уравнение к виду \[
\ant { 2n \alpha + \alpha^2 } = 100 .
\tag {123.2}
\] Понятно, что решение уравнения (123.2) должно удовлетворять условию \( n \geqslant 50 \), иначе выражение, стоящее под знаком антье, меньше \( 100 \).
Пусть \( \ant x = 50 \). Тогда исходное уравнение примет вид \[
\ant {x^2} = 2600 ,
\tag {123.3}
\]\[
\mbox {или }
2600 \leqslant x^2 < 2601 ,
\tag {123.4}
\] \[
\mbox {или }
50 < \sqrt {2600} \leqslant x < 51 .
\tag {123.5}
\] Неравенство (123.5) показывает, что существуют такие значения \(
50 < x < 51 \), при которых выполняется равенство (123.3). Следовательно, такие значения \( x \) являются решениями исходного уравнения.

Заметим, что не имеет смысла вычислять наименьшее решение уравнения (123.1), достаточно определить антье этого значения.

Ответ: \(
50
\).


Автор: И.Л. на 23:09
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.