«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

9 июня 2016 г.

\( x \ant { x \ant {x \ant x}} = 88 \)

Следующее уравнение встречалось мне среди задач какой-то олимпиады (задача была опубликована недавно в группе The Mathematical Olympiads www.linkedin.com).
115. Найдите все действительные решения уравнения\[
x \ant { x \ant {x \ant x}} = 88 .
\tag {115.1}
\]
Решение. Очевидно, что при \( -1 < x < 1 \) и при целых \( x \) решений нет.
Пусть \( f (x) = x \ant { x \ant {x \ant x}} \).

1) Рассмотрим \( x > 1 \). Поскольку функция антье не убывает, то \( f (x) \) возрастает при указанных \( x \).
Нетрудно видеть, что \( 3 < x < 4 \), т.е. \( \ant x = 3 \). Тогда \(
x \ant x = 3x\) и \( 9 < x \ant x < 12 \), значит, \(
\ant {x \ant x} \in \{ 9, \, 10, \, 11 \} \). Но \(
x \ant {10x} > 88 \), как и \( x \ant {11x} > 88 \) при \( x > 3 \).
Остается решить уравнение \[
x \ant {9x} = 88 ,
\tag {115.2}
\] которое выполняется только при \( x = \dfrac {22}7 \).

2) Пусть теперь \( x < -1 \). На этом интервале \( f (x) \) убывает (докажите самостоятельно).
Несложно определить, что если есть решения (115.1) при отрицательных \( x \), то \( -4 < x < -3 \), т.е. \( \ant x = -4 \). Тогда \(
x \ant x > 12 \), \(
\ant {x \ant x} \geqslant 12 \), \(
x \ant {x \ant x} < -36 \), \(
\ant{ x \ant {x \ant x} } \leqslant -37 \), \(
x \ant{ x \ant {x \ant x} } > 111 \).
Таким образом, при отрицательных значениях \( x \) решений нет.

Ответ: \( x = \dfrac {22} 7 \).


Автор: И.Л. на 16:31
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.