\( x \ant { x \ant {x \ant x}} = 88 \)

Следующее уравнение встречалось мне среди задач какой-то олимпиады (задача была опубликована недавно в группе The Mathematical Olympiads www.linkedin.com).

115. Найдите все действительные решения уравнения\[
x \ant { x \ant {x \ant x}} = 88 .
\tag {115.1}
\]

Решение. Очевидно, что при \( -1 < x < 1 \) и при целых \( x \) решений нет.
Пусть \( f (x) = x \ant { x \ant {x \ant x}} \).

1) Рассмотрим \( x > 1 \). Поскольку функция антье не убывает, то \( f (x) \) возрастает при указанных \( x \).
Нетрудно видеть, что \( 3 < x < 4 \), т.е. \( \ant x = 3 \). Тогда \(
x \ant x = 3x\) и \( 9 < x \ant x < 12 \), значит, \(
\ant {x \ant x} \in \{ 9, \, 10, \, 11 \} \). Но \(
x \ant {10x} > 88 \), как и \( x \ant {11x} > 88 \) при \( x > 3 \).
Остается решить уравнение \[
x \ant {9x} = 88 ,
\tag {115.2}
\] которое выполняется только при \( x = \dfrac {22}7 \).

2) Пусть теперь \( x < -1 \). На этом интервале \( f (x) \) убывает (докажите самостоятельно).
Несложно определить, что если есть решения (115.1) при отрицательных \( x \), то \( -4 < x < -3 \), т.е. \( \ant x = -4 \). Тогда \(
x \ant x > 12 \), \(
\ant {x \ant x} \geqslant 12 \), \(
x \ant {x \ant x} < -36 \), \(
\ant{ x \ant {x \ant x} } \leqslant -37 \), \(
x \ant{ x \ant {x \ant x} } > 111 \).
Таким образом, при отрицательных значениях \( x \) решений нет.

Ответ: \( x = \dfrac {22} 7 \).