\( \Bigant { \sqrt {n^2 - n} + \sqrt {n^2 + n} } = \Bigant { \sqrt {4 n^ 2 - 1} } \)

(*) Натуральным тождествам с арифметическим корнем отведен одноименный раздел 19. в задачнике «А. и м.». Добавлю еще одно равенство, схожее с одним из имеющихся.

114. Докажите, что при любом \( n \in \mathbb N \) выполняется равенство \[
\ant {
\sqrt {n^2 - n} + \sqrt {n^2 + n}
} =
\ant {
\sqrt {4 n^ 2 - 1}
} . \tag {114.1} \]

Доказательство. Поскольку \[
n - 1 \leqslant \sqrt {n^2 - n} < n - \dfrac 12 ,
\] \[
n < \sqrt {n^2 + n} < n + \dfrac 12 ,
\] левая часть (114.1) равна \( 2n - 1 \).
Также очевидно, что\( \Bigant { \sqrt {4n^2 - 1} } = 2n - 1 \).
\( \color{gray}{\blacksquare} \)