\( x^3 - 8 x^2 - 2 x + 3 = 0 \)

(*) Любопытная, хотя и несложная, идея пригодится для решения следующей задачи (измененное мной условие взято из поста, опубликованного в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

118. Найдите сумму антье всех действительных решений уравнения \(
x^3 - 8 x^2 - 2 x + 3 = 0 \).

\( 5 \ant { x^2 } + 5 \ant x - x^2 - x = 2000 \)

Следующая задача предлагалась на олимпиаде Санкт-Петербурга в 2003 году (автор А. Храбров).

117. Найдите все действительные решения уравнения\[
5 \ant { x^2 } + 5 \ant x - x^2 - x = 2000 .
\tag {117.1}
\]

\( \ant { \dfrac {(n-1)!} {n(n+1)} } \)

Удивительное утверждение, красивое доказательство — рецепт великолепной олимпиадной задачи (APMO/2004, 4/5).

116. Докажите, что при \( \forall n \in \mathbb N \) число \(
\ant { \dfrac {(n-1)!} {n(n+1)} }
\) является четным.

\( x \ant { x \ant {x \ant x}} = 88 \)

Следующее уравнение встречалось мне среди задач какой-то олимпиады (задача была опубликована недавно в группе The Mathematical Olympiads www.linkedin.com).

115. Найдите все действительные решения уравнения\[
x \ant { x \ant {x \ant x}} = 88 .
\tag {115.1}
\]

\( \Bigant { \sqrt {n^2 - n} + \sqrt {n^2 + n} } = \Bigant { \sqrt {4 n^ 2 - 1} } \)

(*) Натуральным тождествам с арифметическим корнем отведен одноименный раздел 19. в задачнике «А. и м.». Добавлю еще одно равенство, схожее с одним из имеющихся.

114. Докажите, что при любом \( n \in \mathbb N \) выполняется равенство \[
\ant {
\sqrt {n^2 - n} + \sqrt {n^2 + n}
} =
\ant {
\sqrt {4 n^ 2 - 1}
} . \tag {114.1} \]