\( S(n) = \mant {\sqrt a} + \mant {\sqrt a} ^2 + \ldots + \mant {\sqrt a} ^n \)

(*) Данная задача предлагалась на одной из китайских олимпиад (The 6th China Western MO, Yingtan, Jiangxi, 2006). Решение опубликовано (с. 127) в книге «Mathematical Olympiad in China (2007-2008). Problems and Solutions» (East China Normal University Press and World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2009, 194 p. ISBN 978-981-4161-14-2)

111. Пусть \( a \in \mathbb N \) и не является полным квадратом. Докажите, что для любого натурального \( n \) сумма \[
S(n) =
\mant {\sqrt a} + \mant {\sqrt a} ^2 + \ldots + \mant {\sqrt a} ^n
\tag {111.1}
\] является иррациональным числом.

Доказательство. Определим два непересекающихся множества иррациональных чисел особого вида (\( m \) — некоторое натуральное число, которое не является полным квадратом): \[
\mathcal L_m = \left\{
A \sqrt m - B \ \bigl| \,
A, \, B \in \mathbb N
\right\} ,
\] \[
\mathcal R_m = \left\{
A - B \sqrt m \ \bigl| \,
A, \, B \in \mathbb N
\right\} .
\] Перечислим некоторые свойства элементов этих множеств.
Пусть \(
l, \, l_1, \, l_2 \in \mathcal L_m \) и \(
r, \, r_1, \, r_2 \in \mathcal R_m \) (здесь и далее \( k \in \mathbb N \)).

1) \( l_1 + l_2 \in \mathcal L_m \), \(
r_1 + r_2 \in \mathcal R_m \);

2) \( l_1 \cdot l_2 \in \mathcal R_m \), \(
r_1 \cdot r_2 \in \mathcal R_m \), \(
l \cdot r \in \mathcal L_m \);

3) \( \sqrt m \cdot l \in \mathcal R_m \), \(
\sqrt m \cdot r \in \mathcal L_m \);

4) \( l^{2k} \in \mathcal R_m \), \(
l^{2k-1} \in \mathcal L_m \), \(
r^{2k} \in \mathcal R_m \), \(
r^{2k-1} \in \mathcal R_m \).

Рассмотрим сумму (111.1) для четных значений \( n = 2k \). \[
S(2k) =
\mant {\sqrt a} + \mant {\sqrt a} ^2 + \ldots + \mant {\sqrt a} ^{2k} =
\] \[
= \Bigl( \mant {\sqrt a} + 1 \Bigr) \cdot \Bigl(
\mant {\sqrt a} + \mant {\sqrt a} ^3 + \ldots + \mant {\sqrt a} ^{2k-1}
\Bigr) .
\] Согласно свойствам 1)-4) для множеств \(
\mathcal L_a \) и \( \mathcal R_a \) \[
S(2k) \in \mathcal R_a , \] значит, \( S(2k) \) является иррациональным числом.

Рассмотрим нечетный случай, т.е. \( n = 2k - 1 \). \[
S(2k-1) =
\mant {\sqrt a} + \mant {\sqrt a} ^2 + \ldots + \mant {\sqrt a} ^{2k-1} =
\] \[
= \mant {\sqrt a} + \Bigl( \mant {\sqrt a} + 1 \Bigr) \cdot \Bigl(
\mant {\sqrt a}^2 + \mant {\sqrt a} ^4 + \ldots + \mant {\sqrt a} ^{2k-2}
\Bigr) .
\] В этом случае, также используя свойства 1)-4), \[
S(2k-1) \in \mathcal L_a , \] следовательно, и \( S(2k-1) \) является иррациональным числом.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)