«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

20 мая 2016 г.

\( \mant {\sqrt a} ^n \)

(*) Идея несложной задачи пришла мне в голову (в продолжение предыдущего поста).
112. Пусть \( a \in \mathbb N \) и не является полным квадратом. Докажите, что для любого натурального \( n \) число \(
\mant {\sqrt a} ^n \) является иррациональным.
Доказательство. Понятно, что мантиссу можно представить в виде \[
\mant {\sqrt a} ^{2k+1} = C \sqrt a - D
\quad \mbox {или} \quad
\mant {\sqrt a} ^{2k} = D - C \sqrt a ,
\tag {112.1}
\] где \( C, \, D \in \mathbb N \). Предположим, что \(
\mant {\sqrt a} ^n \) — рациональное число, которое, к тому же, должно быть положительным и меньшим \( 1 \) (согласно свойствам мантиссы \(
\mant {\sqrt a} \) в натуральной степени).
Но тогда \( C = 0 \), иначе число (112.1) будет иррациональным.
Выходит, что \( | D | < 1 \), т.е. \( D = 0 \).
Значит, предположение было неверным.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 14:40
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

Комментариев нет :

Отправить комментарий

Следующее Предыдущее Главная страница
Подписаться на: Комментарии к сообщению ( Atom )

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв 2017 ( 1 )
  • ноя 2016 ( 9 )
  • окт 2016 ( 11 )
  • сен 2016 ( 7 )
  • авг 2016 ( 8 )
  • июл 2016 ( 5 )
  • июн 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр 2016 ( 12 )
  • мар 2016 ( 5 )
  • янв 2016 ( 1 )
  • дек 2015 ( 11 )
  • ноя 2015 ( 11 )
  • окт 2015 ( 17 )
  • сен 2015 ( 13 )
  • авг 2015 ( 12 )
  • июл 2015 ( 14 )
  • июн 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.