(*) Идея несложной задачи пришла мне в голову (в продолжение предыдущего поста).
\mant {\sqrt a} ^{2k+1} = C \sqrt a - D
\quad \mbox {или} \quad
\mant {\sqrt a} ^{2k} = D - C \sqrt a ,
\tag {112.1}
\] где \( C, \, D \in \mathbb N \). Предположим, что \(
\mant {\sqrt a} ^n \) — рациональное число, которое, к тому же, должно быть положительным и меньшим \( 1 \) (согласно свойствам мантиссы \(
\mant {\sqrt a} \) в натуральной степени).
Но тогда \( C = 0 \), иначе число (112.1) будет иррациональным.
Выходит, что \( | D | < 1 \), т.е. \( D = 0 \).
Значит, предположение было неверным.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
112. Пусть \( a \in \mathbb N \) и не является полным квадратом. Докажите, что для любого натурального \( n \) число \(
\mant {\sqrt a} ^n \) является иррациональным.
Доказательство. Понятно, что мантиссу можно представить в виде \[\mant {\sqrt a} ^n \) является иррациональным.
\mant {\sqrt a} ^{2k+1} = C \sqrt a - D
\quad \mbox {или} \quad
\mant {\sqrt a} ^{2k} = D - C \sqrt a ,
\tag {112.1}
\] где \( C, \, D \in \mathbb N \). Предположим, что \(
\mant {\sqrt a} ^n \) — рациональное число, которое, к тому же, должно быть положительным и меньшим \( 1 \) (согласно свойствам мантиссы \(
\mant {\sqrt a} \) в натуральной степени).
Но тогда \( C = 0 \), иначе число (112.1) будет иррациональным.
Выходит, что \( | D | < 1 \), т.е. \( D = 0 \).
Значит, предположение было неверным.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)
