\( \Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+1} } < \Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+2} } \)

Следующее неравенство интересно тем, что схожее утверждение для квадратных корней (вместо кубических) является тождеством.

109. Докажите, что неравенство \[
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+1} } <
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+2} }
\tag {109.1}
\] имеет бесконечное количество решений в натуральных числах.

Доказательство. В сборнике «А. и м.» приводится и доказывается тождество \[
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+1} } =
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+3}} ,
\tag {109.2}
\] которое с учетом задачи из предыдущего сообщения имеет вид \[
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+1} } =
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+3}} =
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+4}} .
\tag {109.3}
\] Поскольку уравнение в натуральных числах \( 8n + 5 = k^3 \) (докажите самостоятельно) имеет бесконечное количество  решений, то для доказательства (109.1) достаточно показать, что \[
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+5}} \leqslant
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+2} } ,
\tag {109.4}
\] которое следует из неравенства \[
\sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+5}<
\sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+2} .
\tag {109.5}
\] Обоснование (109.5): \[
8n+5 <
2n+2 +
3\sqrt [\scriptstyle3\,] {  n^2 (n+2)} +
3\sqrt [\scriptstyle3\,] {  n (n+2)^2} ,
\] \[
2n+1 <
\sqrt [\scriptstyle3\,] {  n^2 (n+2)} + \sqrt [\scriptstyle3\,] {  n (n+2)^2} .
\] Последнее неравенство выполняется при любых \(
n \in \mathbb N \), поскольку \[
n < \sqrt [\scriptstyle3\,] {  n^2 (n+2)}
\quad \mbox{и} \quad
n+1 < \sqrt [\scriptstyle3\,] {  n (n+2)^2} .
\]
Отметим, что если \( 8n + 5 \) не является полным кубом, то неравенство (109.1) превращается в тождество.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)