«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

19 мая 2016 г.

\( \Bigant { \sqrt n } = \ant { \dfrac { \sqrt n + \sqrt {n + 2} } 2 } \)

(*) Тождество, которое приводится ниже, встретилось мне в одной из задач как один из случаев. В сборнике «А. и м.» есть раздел 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем», однако в этом разделе нет тождеств данного вида.
105. Докажите тождество \[
\Bigant { \sqrt n } = \ant { \dfrac { \sqrt n + \sqrt {n + 2} } 2 } ,
\quad \mbox {где }
n \in \mathbb N .
\tag {105.1}
\]
Решение. Обозначим \( L(n) = \sqrt n \) и \(
R(n) = \dfrac { \sqrt n + \sqrt {n + 2} } 2 \).
Используя неравенство для среднего арифметического и среднего квадратичного, имеем, что для \(
\forall n \in \mathbb N \) \[
L(n) <
R(n) <
\sqrt {n + 1} .
\tag {105.2}
\] Если \( \sqrt n \) — полный квадрат, то \(
L(n) = \Bigant { R(n) } \).
Если же \( \sqrt {n + 1} \) является полным квадратом, то значения выражений \( L(n) \) и \( R(n) \) заключены между соседними целыми числами, поскольку \[
\sqrt {n + 1} - 1 <
L(n) <
R(n) <
\sqrt {n + 1} .
\tag {105.3}
\] В оставшихся случаях \( L(n) \) и \( R(n) \) также расположены между соседними целыми числами.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 13:29
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

Комментариев нет :

Отправить комментарий

Следующее Предыдущее Главная страница
Подписаться на: Комментарии к сообщению ( Atom )

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв 2017 ( 1 )
  • ноя 2016 ( 9 )
  • окт 2016 ( 11 )
  • сен 2016 ( 7 )
  • авг 2016 ( 8 )
  • июл 2016 ( 5 )
  • июн 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр 2016 ( 12 )
  • мар 2016 ( 5 )
  • янв 2016 ( 1 )
  • дек 2015 ( 11 )
  • ноя 2015 ( 11 )
  • окт 2015 ( 17 )
  • сен 2015 ( 13 )
  • авг 2015 ( 12 )
  • июл 2015 ( 14 )
  • июн 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.