\( \Bigant { \sqrt n } = \ant { \dfrac { \sqrt n + \sqrt {n + 2} } 2 } \)

(*) Тождество, которое приводится ниже, встретилось мне в одной из задач как один из случаев. В сборнике «А. и м.» есть раздел 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем», однако в этом разделе нет тождеств данного вида.

105. Докажите тождество \[
\Bigant { \sqrt n } = \ant { \dfrac { \sqrt n + \sqrt {n + 2} } 2 } ,
\quad \mbox {где }
n \in \mathbb N .
\tag {105.1}
\]

Решение. Обозначим \( L(n) = \sqrt n \) и \(
R(n) = \dfrac { \sqrt n + \sqrt {n + 2} } 2 \).
Используя неравенство для среднего арифметического и среднего квадратичного, имеем, что для \(
\forall n \in \mathbb N \) \[
L(n) <
R(n) <
\sqrt {n + 1} .
\tag {105.2}
\] Если \( \sqrt n \) — полный квадрат, то \(
L(n) = \Bigant { R(n) } \).
Если же \( \sqrt {n + 1} \) является полным квадратом, то значения выражений \( L(n) \) и \( R(n) \) заключены между соседними целыми числами, поскольку \[
\sqrt {n + 1} - 1 <
L(n) <
R(n) <
\sqrt {n + 1} .
\tag {105.3}
\] В оставшихся случаях \( L(n) \) и \( R(n) \) также расположены между соседними целыми числами.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)