\( \begin {cases} \ant x + 2y = a , \\[4pt] \ant y + 2x = b . \end {cases} \)

В данном сообщении приводится другое (короткое и красивое) решение опубликованной в «А. и м.» задачи 133. Решение взято из поста, который недавно был размещен в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

104. Пусть \( a, \, b \in \mathbb Z \). Определите количество действительных решений \( ( x, \, y ) \) системы уравнений \[
\begin {cases}
\ant x + 2y = a ,
\\[4pt]
\ant y + 2x = b .
\end {cases}
\tag {104.1}
\]

Решение. Заметим, что \[
d_x = 2x - 2 \ant x \in \{ 0, \, 1 \}
\quad \mbox {и} \quad
d_y = 2y - 2 \ant y \in \{ 0, \, 1 \} .
\] Преобразуем исходную систему уравнений к виду \[
\begin {cases}
\ant x + 2 \ant y = a - d_y ,
\\[4pt]
2 \ant x + \ant y = b - d_x .
\end {cases}
\tag {104.2}
\] Система (104.2) совместна, если число \(
a + b - (d_x + d_y) \) делится на \( 3 \) нацело, что всегда имеет место, поскольку \( d_x + d_y \in \{ 0, \, 1, \, 2 \} \), причем:
\( \qquad \) если \( d_x + d_y \in \{ 0, \, 2 \}  \) решение единственное,
\( \qquad \) а при \( d_x + d_y = 1  \) два решения.

Ответ: два решения, если \( a + b \equiv 2 \pmod 3\), и одно решение, иначе.