«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

5 мая 2016 г.

\( \begin {cases} \ant x + 2y = a , \\[4pt] \ant y + 2x = b . \end {cases} \)

В данном сообщении приводится другое (короткое и красивое) решение опубликованной в «А. и м.» задачи 133. Решение взято из поста, который недавно был размещен в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
104. Пусть \( a, \, b \in \mathbb Z \). Определите количество действительных решений \( ( x, \, y ) \) системы уравнений \[
\begin {cases}
\ant x + 2y = a ,
\\[4pt]
\ant y + 2x = b .
\end {cases}
\tag {104.1}
\]
Решение. Заметим, что \[
d_x = 2x - 2 \ant x \in \{ 0, \, 1 \}
\quad \mbox {и} \quad
d_y = 2y - 2 \ant y \in \{ 0, \, 1 \} .
\] Преобразуем исходную систему уравнений к виду \[
\begin {cases}
\ant x + 2 \ant y = a - d_y ,
\\[4pt]
2 \ant x + \ant y = b - d_x .
\end {cases}
\tag {104.2}
\] Система (104.2) совместна, если число \(
a + b - (d_x + d_y) \) делится на \( 3 \) нацело, что всегда имеет место, поскольку \( d_x + d_y \in \{ 0, \, 1, \, 2 \} \), причем:
\( \qquad \) если \( d_x + d_y \in \{ 0, \, 2 \}  \) решение единственное,
\( \qquad \) а при \( d_x + d_y = 1  \) два решения.

Ответ: два решения, если \( a + b \equiv 2 \pmod 3\), и одно решение, иначе.


Автор: И.Л. на 13:30
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.