\( \Bigant { \sqrt {4n+3} } = \Bigant { \sqrt n + \sqrt {n + 2}} \)

(*) В разделе 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем» (см. сборник «А. и м.») приводится около двадцати тождеств. Следующее утверждение не встречалось в предлагаемой формулировке. Впрочем важно не это, см. комментарий к задаче.

107. Докажите тождество \[
\Bigant { \sqrt {4n+3} } = \Bigant { \sqrt n + \sqrt {n + 2}} ,
\quad \mbox {где }
n \in \mathbb N .
\tag {107.1}
\]

Доказательство. Поскольку для \( \forall n \in \mathbb N \) \[
\sqrt {4n+3} < \sqrt n + \sqrt {n + 2}
\tag {107.2}
\] (обоснуйте самостоятельно), то достаточно доказать, что при условии \(
\Bigant { \sqrt {4n+3} } = k \) \(
( k \in \mathbb N_{\geqslant 2}) \) выполняется неравенство \[
\sqrt n + \sqrt {n + 2} < k + 1 .
\tag {107.3}
\] Пусть \(
\sqrt {4n+3} < k + 1
\), тогда \[
4n + 3 < (k + 1)^2 ,
\] \[
2n + 2 + 2 ( n + 1) < (k + 1)^2 + 1 ,
\] \[
2n + 2 + 2 ( n + 1) \leqslant (k + 1)^2
\quad \mbox {(известный трюк «$\leqslant$»)} ,
\] \[
2n + 2 + 2 \sqrt {n^2 + 2n} < (k + 1)^2
\quad \mbox {(цель трюка — опять знак «<»)} ,
\] \[
\bigl( \sqrt n + \sqrt {n + 2} \bigr)^2 < (k + 1)^2 .
\] Неравенство (107.3) доказано, значит, и тождество (107.1) выполняется.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)

Комментарий. Получается такая цепочка тождеств (см. упомянутый в начале поста раздел 19. сборника «А. и м.»): \[
\Bigant { \sqrt n + \sqrt {n + 1}} =
\Bigant { \sqrt n + \sqrt {n + 2}} =
\] \[ =
\Bigant { \sqrt {4n+1} } =
\Bigant { \sqrt {4n+2} } =
\Bigant { \sqrt {4n+3} } =
\] \[ =
\Bigant { \sqrt n + \sqrt {n + a} } ,
\quad \mbox {где }
9 - 6 \sqrt2 \leqslant a \leqslant 2.
\] Понятно, что первые две формулы — частные случаи последней формулы.
Полагаю, приведенная цепочка имеет продолжение.