«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

4 мая 2016 г.

\( 1 + \bigant x = x + \bigmant { x^2 } \)

Среди задач на а. и м. задания на определение количества решений встречаются не так уж редко. Наверное, объясняется это тем, что решений уравнения с а. и м. может быть достаточно много, и числовые выражения решений выглядят громоздко. Следующее задание взято из группы The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
103. Определите количество действительных решения уравнения \[
1 + \bigant x = x + \bigmant { x^2 }
\tag {103.1}
\] при \( | x | \leqslant 10 \).
Решение. Приведем исходное уравнение к виду \[
1 - \bigmant x = \bigmant { x^2 } .
\tag {103.2}
\] Очевидно, решения уравнения не являются целыми. В случае нецелых значений \( x \) выполняется равенство \(
\mant x + \mant {-x} = 1
\). Тогда \[
\bigmant {-x} = \bigmant { x^2 } ,
\] \[
\bigmant { x^2 + x } = 0 ,
\] \[
x^2 + x = k ,
\quad \mbox {где }
k \in \mathbb Z .
\tag {103.3}
\] Итак, задание свелось к решению уравнения (103.3) с целочисленным параметром для \(
-10 < x < 10 \) и \( x \not\in \mathbb Z \).
Уравнение (103.3) имеет следующие решения \[
x = \dfrac {-1 \pm \sqrt { 1 + 4k }} 2 .
\] Количество решений (103.3), включая целые значения \( x \), определяется из неравенства \[
-10 < \dfrac {-1 \pm \sqrt { 1 + 4k }} 2 < 10 ,
\] и равно \( 200 \) (для \( x \geqslant 0 \) \(
k = 0, \, 1, \, \ldots, \, 109 \), для \( x < 0 \) \(
k = 0, \, 1, \, \ldots, \, 89 \)).
Количество целых значений \( x \) равно \( 19 \) \(
( x = -9, \, -8, \, \ldots, \, 9 )
\).

Ответ: \( 181\).


Автор: И.Л. на 14:23
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.