\( 1 + \bigant x = x + \bigmant { x^2 } \)

Среди задач на а. и м. задания на определение количества решений встречаются не так уж редко. Наверное, объясняется это тем, что решений уравнения с а. и м. может быть достаточно много, и числовые выражения решений выглядят громоздко. Следующее задание взято из группы The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

103. Определите количество действительных решения уравнения \[
1 + \bigant x = x + \bigmant { x^2 }
\tag {103.1}
\] при \( | x | \leqslant 10 \).

Решение. Приведем исходное уравнение к виду \[
1 - \bigmant x = \bigmant { x^2 } .
\tag {103.2}
\] Очевидно, решения уравнения не являются целыми. В случае нецелых значений \( x \) выполняется равенство \(
\mant x + \mant {-x} = 1
\). Тогда \[
\bigmant {-x} = \bigmant { x^2 } ,
\] \[
\bigmant { x^2 + x } = 0 ,
\] \[
x^2 + x = k ,
\quad \mbox {где }
k \in \mathbb Z .
\tag {103.3}
\] Итак, задание свелось к решению уравнения (103.3) с целочисленным параметром для \(
-10 < x < 10 \) и \( x \not\in \mathbb Z \).
Уравнение (103.3) имеет следующие решения \[
x = \dfrac {-1 \pm \sqrt { 1 + 4k }} 2 .
\] Количество решений (103.3), включая целые значения \( x \), определяется из неравенства \[
-10 < \dfrac {-1 \pm \sqrt { 1 + 4k }} 2 < 10 ,
\] и равно \( 200 \) (для \( x \geqslant 0 \) \(
k = 0, \, 1, \, \ldots, \, 109 \), для \( x < 0 \) \(
k = 0, \, 1, \, \ldots, \, 89 \)).
Количество целых значений \( x \) равно \( 19 \) \(
( x = -9, \, -8, \, \ldots, \, 9 )
\).

Ответ: \( 181\).