\( \mant {\sqrt a} ^n \)

(*) Идея несложной задачи пришла мне в голову (в продолжение предыдущего поста).

112. Пусть \( a \in \mathbb N \) и не является полным квадратом. Докажите, что для любого натурального \( n \) число \(
\mant {\sqrt a} ^n \) является иррациональным.

\( S(n) = \mant {\sqrt a} + \mant {\sqrt a} ^2 + \ldots + \mant {\sqrt a} ^n \)

(*) Данная задача предлагалась на одной из китайских олимпиад (The 6th China Western MO, Yingtan, Jiangxi, 2006). Решение опубликовано (с. 127) в книге «Mathematical Olympiad in China (2007-2008). Problems and Solutions» (East China Normal University Press and World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2009, 194 p. ISBN 978-981-4161-14-2)

111. Пусть \( a \in \mathbb N \) и не является полным квадратом. Докажите, что для любого натурального \( n \) сумма \[
S(n) =
\mant {\sqrt a} + \mant {\sqrt a} ^2 + \ldots + \mant {\sqrt a} ^n
\tag {111.1}
\] является иррациональным числом.

\( \dfrac { \ant {n \alpha}} { \ant {m \beta}} = r \)

Следующая задача встречалась мне ранее среди олимпиадных заданий. Надо будет разобраться с ней.

110. Пусть \( \alpha, \, \beta \in \mathbb R_{> 0} \) и \(
r \in \mathbb Q_{> 0} \). Докажите, что существует бесконечно количество целых \( n \) и \( m \) таких, что \(
\dfrac { \ant {n \alpha}} { \ant {m \beta}} = r
\).

\( \Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+1} } < \Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+2} } \)

Следующее неравенство интересно тем, что схожее утверждение для квадратных корней (вместо кубических) является тождеством.

109. Докажите, что неравенство \[
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+1} } <
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+2} }
\tag {109.1}
\] имеет бесконечное количество решений в натуральных числах.

\( \Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+3} } = \Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+4} } \)

(*) Продолжим публикацию антье-тождеств с арифметическими корнями.

108. Докажите тождество \[
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+3} } =
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+4} } ,
\quad \mbox {где }
n \in \mathbb Z_{\geqslant 0} .
\tag {108.1}
\]

\( \Bigant { \sqrt {4n+3} } = \Bigant { \sqrt n + \sqrt {n + 2}} \)

(*) В разделе 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем» (см. сборник «А. и м.») приводится около двадцати тождеств. Следующее утверждение не встречалось в предлагаемой формулировке. Впрочем важно не это, см. комментарий к задаче.

107. Докажите тождество \[
\Bigant { \sqrt {4n+3} } = \Bigant { \sqrt n + \sqrt {n + 2}} ,
\quad \mbox {где }
n \in \mathbb N .
\tag {107.1}
\]

\( x \cdot \ant x \geqslant 9^{ \ant { \log_3 x } } \)

Хитроватое неравенство встретилось в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

106. Найдите все действительные решения неравенства \[
x \cdot \ant x \geqslant
9^{ \ant { \log_3 x } }
\tag {106.1}
\]

\( \Bigant { \sqrt n } = \ant { \dfrac { \sqrt n + \sqrt {n + 2} } 2 } \)

(*) Тождество, которое приводится ниже, встретилось мне в одной из задач как один из случаев. В сборнике «А. и м.» есть раздел 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем», однако в этом разделе нет тождеств данного вида.

105. Докажите тождество \[
\Bigant { \sqrt n } = \ant { \dfrac { \sqrt n + \sqrt {n + 2} } 2 } ,
\quad \mbox {где }
n \in \mathbb N .
\tag {105.1}
\]

\( \begin {cases} \ant x + 2y = a , \\[4pt] \ant y + 2x = b . \end {cases} \)

В данном сообщении приводится другое (короткое и красивое) решение опубликованной в «А. и м.» задачи 133. Решение взято из поста, который недавно был размещен в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

104. Пусть \( a, \, b \in \mathbb Z \). Определите количество действительных решений \( ( x, \, y ) \) системы уравнений \[
\begin {cases}
\ant x + 2y = a ,
\\[4pt]
\ant y + 2x = b .
\end {cases}
\tag {104.1}
\]

\( 1 + \bigant x = x + \bigmant { x^2 } \)

Среди задач на а. и м. задания на определение количества решений встречаются не так уж редко. Наверное, объясняется это тем, что решений уравнения с а. и м. может быть достаточно много, и числовые выражения решений выглядят громоздко. Следующее задание взято из группы The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

103. Определите количество действительных решения уравнения \[
1 + \bigant x = x + \bigmant { x^2 }
\tag {103.1}
\] при \( | x | \leqslant 10 \).