«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

20 мая 2016 г.

\( \mant {\sqrt a} ^n \)

(*) Идея несложной задачи пришла мне в голову (в продолжение предыдущего поста).
112. Пусть \( a \in \mathbb N \) и не является полным квадратом. Докажите, что для любого натурального \( n \) число \(
\mant {\sqrt a} ^n \) является иррациональным.
Дальше ...


Автор: И.Л. на 14:40 Комментариев нет :
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

\( S(n) = \mant {\sqrt a} + \mant {\sqrt a} ^2 + \ldots + \mant {\sqrt a} ^n \)

(*) Данная задача предлагалась на одной из китайских олимпиад (The 6th China Western MO, Yingtan, Jiangxi, 2006). Решение опубликовано (с. 127) в книге «Mathematical Olympiad in China (2007-2008). Problems and Solutions» (East China Normal University Press and World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2009, 194 p. ISBN 978-981-4161-14-2)
111. Пусть \( a \in \mathbb N \) и не является полным квадратом. Докажите, что для любого натурального \( n \) сумма \[
S(n) =
\mant {\sqrt a} + \mant {\sqrt a} ^2 + \ldots + \mant {\sqrt a} ^n
\tag {111.1}
\] является иррациональным числом.
Дальше ...


Автор: И.Л. на 02:55 Комментариев нет :
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

\( \dfrac { \ant {n \alpha}} { \ant {m \beta}} = r \)

Следующая задача встречалась мне ранее среди олимпиадных заданий. Надо будет разобраться с ней.
110. Пусть \( \alpha, \, \beta \in \mathbb R_{> 0} \) и \(
r \in \mathbb Q_{> 0} \). Докажите, что существует бесконечно количество целых \( n \) и \( m \) таких, что \(
\dfrac { \ant {n \alpha}} { \ant {m \beta}} = r
\).
Дальше ...


Автор: И.Л. на 02:44 Комментариев нет :
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

19 мая 2016 г.

\( \Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+1} } < \Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+2} } \)

Следующее неравенство интересно тем, что схожее утверждение для квадратных корней (вместо кубических) является тождеством.
109. Докажите, что неравенство \[
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+1} } <
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] n + \sqrt [\scriptstyle3\,] {n+2} }
\tag {109.1}
\] имеет бесконечное количество решений в натуральных числах.
Дальше ...


Автор: И.Л. на 23:35 Комментариев нет :
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

\( \Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+3} } = \Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+4} } \)

(*) Продолжим публикацию антье-тождеств с арифметическими корнями.
108. Докажите тождество \[
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+3} } =
\Bigant { \sqrt [\scriptstyle3\,] {8n+4} } ,
\quad \mbox {где }
n \in \mathbb Z_{\geqslant 0} .
\tag {108.1}
\]
Дальше ...


Автор: И.Л. на 22:56 Комментариев нет :
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

\( \Bigant { \sqrt {4n+3} } = \Bigant { \sqrt n + \sqrt {n + 2}} \)

(*) В разделе 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем» (см. сборник «А. и м.») приводится около двадцати тождеств. Следующее утверждение не встречалось в предлагаемой формулировке. Впрочем важно не это, см. комментарий к задаче.
107. Докажите тождество \[
\Bigant { \sqrt {4n+3} } = \Bigant { \sqrt n + \sqrt {n + 2}} ,
\quad \mbox {где }
n \in \mathbb N .
\tag {107.1}
\]
Дальше ...


Автор: И.Л. на 18:59 Комментариев нет :
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

\( x \cdot \ant x \geqslant 9^{ \ant { \log_3 x } } \)

Хитроватое неравенство встретилось в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
106. Найдите все действительные решения неравенства \[
x \cdot \ant x \geqslant
9^{ \ant { \log_3 x } }
\tag {106.1}
\]
Дальше ...


Автор: И.Л. на 14:21 Комментариев нет :
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

\( \Bigant { \sqrt n } = \ant { \dfrac { \sqrt n + \sqrt {n + 2} } 2 } \)

(*) Тождество, которое приводится ниже, встретилось мне в одной из задач как один из случаев. В сборнике «А. и м.» есть раздел 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем», однако в этом разделе нет тождеств данного вида.
105. Докажите тождество \[
\Bigant { \sqrt n } = \ant { \dfrac { \sqrt n + \sqrt {n + 2} } 2 } ,
\quad \mbox {где }
n \in \mathbb N .
\tag {105.1}
\]
Дальше ...


Автор: И.Л. на 13:29 Комментариев нет :
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

5 мая 2016 г.

\( \begin {cases} \ant x + 2y = a , \\[4pt] \ant y + 2x = b . \end {cases} \)

В данном сообщении приводится другое (короткое и красивое) решение опубликованной в «А. и м.» задачи 133. Решение взято из поста, который недавно был размещен в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
104. Пусть \( a, \, b \in \mathbb Z \). Определите количество действительных решений \( ( x, \, y ) \) системы уравнений \[
\begin {cases}
\ant x + 2y = a ,
\\[4pt]
\ant y + 2x = b .
\end {cases}
\tag {104.1}
\]
Дальше ...


Автор: И.Л. на 13:30 Комментариев нет :
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

4 мая 2016 г.

\( 1 + \bigant x = x + \bigmant { x^2 } \)

Среди задач на а. и м. задания на определение количества решений встречаются не так уж редко. Наверное, объясняется это тем, что решений уравнения с а. и м. может быть достаточно много, и числовые выражения решений выглядят громоздко. Следующее задание взято из группы The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
103. Определите количество действительных решения уравнения \[
1 + \bigant x = x + \bigmant { x^2 }
\tag {103.1}
\] при \( | x | \leqslant 10 \).
Дальше ...


Автор: И.Л. на 14:23 Комментариев нет :
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующие Предыдущие Главная страница
Подписаться на: Сообщения ( Atom )

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв 2017 ( 1 )
  • ноя 2016 ( 9 )
  • окт 2016 ( 11 )
  • сен 2016 ( 7 )
  • авг 2016 ( 8 )
  • июл 2016 ( 5 )
  • июн 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр 2016 ( 12 )
  • мар 2016 ( 5 )
  • янв 2016 ( 1 )
  • дек 2015 ( 11 )
  • ноя 2015 ( 11 )
  • окт 2015 ( 17 )
  • сен 2015 ( 13 )
  • авг 2015 ( 12 )
  • июл 2015 ( 14 )
  • июн 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.