\( \bigant { A (K + 1) }\equiv 1 \pmod {K + 1} \)

В группе The Mathematical Olympiads социальной сети LinkedIn встретилась следующая задача. К сожалению, ни автор, ни источник публикации задачи не указаны.

93. Пусть \( K = \ant { \dfrac 1 { \mant A } } \), где \( A \) — положительное действительное нецелое число. Докажите, что \[
\bigant { A (K + 1) }\equiv 1 \pmod {K + 1} .
\tag {93.1}
\]

Решение. Отметим, что \( K \geqslant 1 \). Воспользуемся «обычной» заменой \[
A = n + \alpha ,
\quad \mbox{где } n \in \mathbb Z_{\geqslant 0}
\mbox { и } 0 < \alpha < 1
\] (согласно условию задачи).
Тогда \[
\bigant { A (K + 1) } = \bigant {
( n + \alpha ) (K + 1)
} = n (K + 1) + \bigant { \alpha (K + 1) } .
\] Покажем, что \( \bigant { \alpha (K + 1) } = 1 \).

Поскольку \(
\alpha = \dfrac 1 { \frac 1 {\alpha} } =
\dfrac 1 { \frac 1 {\mant A} } =
\dfrac 1 { K + \beta }
\), где \( 0 < \beta < 1 \), то
\[
\bigant { \alpha (K + 1) } =
\ant { \dfrac {K + 1}{ K + \beta } } = 1
\quad \mbox{при }
K \geqslant 1
\mbox{ и }
0 < \beta < 1 .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)