«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

7 апреля 2016 г.

\( \bigant { A (K + 1) }\equiv 1 \pmod {K + 1} \)

В группе The Mathematical Olympiads социальной сети LinkedIn встретилась следующая задача. К сожалению, ни автор, ни источник публикации задачи не указаны.
93. Пусть \( K = \ant { \dfrac 1 { \mant A } } \), где \( A \) — положительное действительное нецелое число. Докажите, что \[
\bigant { A (K + 1) }\equiv 1 \pmod {K + 1} .
\tag {93.1}
\]
Решение. Отметим, что \( K \geqslant 1 \). Воспользуемся «обычной» заменой \[
A = n + \alpha ,
\quad \mbox{где } n \in \mathbb Z_{\geqslant 0}
\mbox { и } 0 < \alpha < 1
\] (согласно условию задачи).
Тогда \[
\bigant { A (K + 1) } = \bigant {
( n + \alpha ) (K + 1)
} = n (K + 1) + \bigant { \alpha (K + 1) } .
\] Покажем, что \( \bigant { \alpha (K + 1) } = 1 \).

Поскольку \(
\alpha = \dfrac 1 { \frac 1 {\alpha} } =
\dfrac 1 { \frac 1 {\mant A} } =
\dfrac 1 { K + \beta }
\), где \( 0 < \beta < 1 \), то
\[
\bigant { \alpha (K + 1) } =
\ant { \dfrac {K + 1}{ K + \beta } } = 1
\quad \mbox{при }
K \geqslant 1
\mbox{ и }
0 < \beta < 1 .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 20:58
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.