«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

26 апреля 2016 г.

\( f ( \ant x y ) = f(x) \ant { f(y) } \)

(*) Функциональные уравнения с антье встречаются лишь изредка. Следующее задание взято из группы The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
99. Определите все функции \(
f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R
\) такие, что для любых \( x, \, y \in \mathbb R \) выполняется равенство \[
f ( \ant x y ) = f(x) \ant { f(y) }
\tag {99.1}
\]
Решение. Если поменять местами \( x \) и \( y \) и рассмотреть случай \(
y = 0 \), то получим \[
f ( 0 ) = f(0) \ant { f(x) } .
\tag {99.2}
\]
1) Пусть \( \ant { f(x) } = 1 \). Тогда \[
f ( \ant x y ) = f(x)
\quad \mbox {для }
\forall x, \, y \in \mathbb R ,
\tag {99.3}
\] что означает \[
f(x) = C ,
\quad \mbox {где }
1 \leqslant C < 2 .
\tag {99.4}
\]

2) Пусть \( f(0) = 0 \). Тогда при \( 1 \leqslant x < 2 \) \[
f (x) \ant { f(x) } = 0,
\quad \mbox {или} \quad
\ant { f(x) } = 0 .
\tag {99.5}
\] Из (99.1) следует, что при \( n \in \mathbb Z \) \[
f (nx) = 0 ,
\tag {99.6}
\] т.е. \( f (x) = 0 \) при любом действительном \( x \).

Ответ: \( f(x) = C \), где \( C \in \{ 0 \} \cup [ 1; \, 2 ) \).


Автор: И.Л. на 22:28
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.