\( f ( \ant x y ) = f(x) \ant { f(y) } \)

(*) Функциональные уравнения с антье встречаются лишь изредка. Следующее задание взято из группы The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

99. Определите все функции \(
f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R
\) такие, что для любых \( x, \, y \in \mathbb R \) выполняется равенство \[
f ( \ant x y ) = f(x) \ant { f(y) }
\tag {99.1}
\]

Решение. Если поменять местами \( x \) и \( y \) и рассмотреть случай \(
y = 0 \), то получим \[
f ( 0 ) = f(0) \ant { f(x) } .
\tag {99.2}
\]
1) Пусть \( \ant { f(x) } = 1 \). Тогда \[
f ( \ant x y ) = f(x)
\quad \mbox {для }
\forall x, \, y \in \mathbb R ,
\tag {99.3}
\] что означает \[
f(x) = C ,
\quad \mbox {где }
1 \leqslant C < 2 .
\tag {99.4}
\]

2) Пусть \( f(0) = 0 \). Тогда при \( 1 \leqslant x < 2 \) \[
f (x) \ant { f(x) } = 0,
\quad \mbox {или} \quad
\ant { f(x) } = 0 .
\tag {99.5}
\] Из (99.1) следует, что при \( n \in \mathbb Z \) \[
f (nx) = 0 ,
\tag {99.6}
\] т.е. \( f (x) = 0 \) при любом действительном \( x \).

Ответ: \( f(x) = C \), где \( C \in \{ 0 \} \cup [ 1; \, 2 ) \).