«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

27 апреля 2016 г.

\( \dfrac { \mant {x+y} ^ 2 } { \ant {x+y} } \leqslant \dfrac {\mant x ^2} {\ant x} + \dfrac {\mant y ^2} {\ant y} \)

Непростое неравенство опубликовано в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).
102. Докажите, что \[
\dfrac { \mant {x+y} ^ 2 } { \ant {x+y} }
\leqslant
\dfrac {\mant x ^2} {\ant x} + \dfrac {\mant y ^2} {\ant y}
\quad \mbox {при }
x, \, y \in \mathbb R_{\geqslant 1} .
\tag {102.1}
\]
Решение. Возможны лишь два случая:
\[
1)
\ \begin {cases}
\ant {x+y} = \ant x + \ant y ,
\\[4pt]
\mant {x+y} = \mant x + \mant y
\end {cases}
\quad \mbox{и} \quad
2)
\ \begin {cases}
\ant {x+y} = \ant x + \ant y + 1 ,
\\[4pt]
\mant {x+y} = \mant x + \mant y - 1 .
\end {cases}
\]
Также пригодится следующее неравенство (выводится из неравенства Коши-Буняковского) \[
\dfrac {a_1^2} {b_1} + \dfrac {a_2^2} {b_2}
\geqslant
\dfrac {(a_1+a_2)^2} {b_1+b_2} .
\]
Рассмотрим второй случай. \[
\dfrac { \mant {x+y} ^ 2 } { \ant {x+y} }
=
\dfrac { \bigl( \mant x + \mant y - 1 \bigr) ^ 2 } { \ant x + \ant y + 1 }
\leqslant
\dfrac { \bigl( \mant x + \mant y \bigr) ^ 2 } { \ant x + \ant y }
\leqslant
\dfrac {\mant x ^2} {\ant x} + \dfrac {\mant y ^2} {\ant y} .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)


Автор: И.Л. на 02:14
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.