\( \dfrac { \mant {x+y} ^ 2 } { \ant {x+y} } \leqslant \dfrac {\mant x ^2} {\ant x} + \dfrac {\mant y ^2} {\ant y} \)

Непростое неравенство опубликовано в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com).

102. Докажите, что \[
\dfrac { \mant {x+y} ^ 2 } { \ant {x+y} }
\leqslant
\dfrac {\mant x ^2} {\ant x} + \dfrac {\mant y ^2} {\ant y}
\quad \mbox {при }
x, \, y \in \mathbb R_{\geqslant 1} .
\tag {102.1}
\]

Решение. Возможны лишь два случая:
\[
1)
\ \begin {cases}
\ant {x+y} = \ant x + \ant y ,
\\[4pt]
\mant {x+y} = \mant x + \mant y
\end {cases}
\quad \mbox{и} \quad
2)
\ \begin {cases}
\ant {x+y} = \ant x + \ant y + 1 ,
\\[4pt]
\mant {x+y} = \mant x + \mant y - 1 .
\end {cases}
\]

Также пригодится следующее неравенство (выводится из неравенства Коши-Буняковского) \[
\dfrac {a_1^2} {b_1} + \dfrac {a_2^2} {b_2}
\geqslant
\dfrac {(a_1+a_2)^2} {b_1+b_2} .
\]

Рассмотрим второй случай. \[
\dfrac { \mant {x+y} ^ 2 } { \ant {x+y} }
=
\dfrac { \bigl( \mant x + \mant y - 1 \bigr) ^ 2 } { \ant x + \ant y + 1 }
\leqslant
\dfrac { \bigl( \mant x + \mant y \bigr) ^ 2 } { \ant x + \ant y }
\leqslant
\dfrac {\mant x ^2} {\ant x} + \dfrac {\mant y ^2} {\ant y} .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)