«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

7 апреля 2016 г.

\( \ant { \dfrac 1x } = \dfrac 1 { \ant x } \)

В задачнике «А. и м.» имеется небольшой раздел (см. п. 12.5), по­свя­щен­ный уравнениям вида \( \ant {f(x)} = f( \ant x ) \). Рассмотрим одно из уравнений данного вида.
91. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac 1x } = \dfrac 1 { \ant x }
\tag {91.1}
\]
Решение. Необходимым и достаточным условием (см. п. 12.5 в «А. и м.») существования решений уравнения (91.1) является наличие целочисленных значений \(
f(x) = \dfrac 1x \) при целых \( x \). То есть среди целочисленных значений \( x \) только лишь \( x = \pm 1 \) входят в ответ.
Заметим, что \( f(x) = \dfrac 1x \) строго убывает на каждой из полупрямых \(
x \in (-\infty, \ 0 ) \) и \( x \in (0, \ +\infty ) \), в то время как функция антье не убывает. Тогда несложно видеть, что \[
\ant { f(x) } \leqslant f(x) < f ( \ant x ),
\quad \mbox {где } f(x) = \dfrac 1x ,
\ x \not\in \mathbb Z .
\] Следовательно, других решений нет.

Ответ: \( x = \pm 1 \).



Автор: И.Л. на 15:30
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.