В задачнике «А. и м.» имеется небольшой раздел (см. п. 12.5), посвященный уравнениям вида \( \ant {f(x)} = f( \ant x ) \). Рассмотрим одно из уравнений данного вида.
f(x) = \dfrac 1x \) при целых \( x \). То есть среди целочисленных значений \( x \) только лишь \( x = \pm 1 \) входят в ответ.
Заметим, что \( f(x) = \dfrac 1x \) строго убывает на каждой из полупрямых \(
x \in (-\infty, \ 0 ) \) и \( x \in (0, \ +\infty ) \), в то время как функция антье не убывает. Тогда несложно видеть, что \[
\ant { f(x) } \leqslant f(x) < f ( \ant x ),
\quad \mbox {где } f(x) = \dfrac 1x ,
\ x \not\in \mathbb Z .
\] Следовательно, других решений нет.
Ответ: \( x = \pm 1 \).
91. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac 1x } = \dfrac 1 { \ant x }
\tag {91.1}
\]
Решение. Необходимым и достаточным условием (см. п. 12.5 в «А. и м.») существования решений уравнения (91.1) является наличие целочисленных значений \(\ant { \dfrac 1x } = \dfrac 1 { \ant x }
\tag {91.1}
\]
f(x) = \dfrac 1x \) при целых \( x \). То есть среди целочисленных значений \( x \) только лишь \( x = \pm 1 \) входят в ответ.
Заметим, что \( f(x) = \dfrac 1x \) строго убывает на каждой из полупрямых \(
x \in (-\infty, \ 0 ) \) и \( x \in (0, \ +\infty ) \), в то время как функция антье не убывает. Тогда несложно видеть, что \[
\ant { f(x) } \leqslant f(x) < f ( \ant x ),
\quad \mbox {где } f(x) = \dfrac 1x ,
\ x \not\in \mathbb Z .
\] Следовательно, других решений нет.
Ответ: \( x = \pm 1 \).
