\( \ant { {{{\sqrt 2} ^ {\sqrt 2}} ^ {...}} ^ {\sqrt 2} } \)

(*) Недавно в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com) была опубликована интересная задача.

97. Вычислите \[
\ant { {{{\sqrt 2} ^ {\sqrt 2}} ^ {...}} ^ {\sqrt 2} } .
\tag {97.1}
\] Число \( \sqrt 2 \) присутствует в формуле \( n \geqslant 1 \) раз.

Решение. Обозначим выражение (97.1) по количеству вхождений \( \sqrt 2 \) через \( f (n) \), т.е. \( f (1) = \sqrt 2 \), \( f (2) = {\sqrt 2} ^ {\sqrt 2} \) и т.д.
1) \( f (n) \) возрастает,
2) \( f (n) > 1 \),
3) \( f (n) < 2 \), что несложно доказать с помощью метода математической индукции.

Ответ: \( 1 \).