В последнее время все новые задачи на а. и м. я нахожу в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com). Решим очередную задачу.
\alpha = \sqrt {10} - 2
\), \(
\beta = \sqrt {10} + 4
\). Тогда исходное уравнение примет вид \[
\bigant { m \alpha } = \bigant { n \beta } .
\tag {95.2}
\] Поскольку имеет место равенство \( \dfrac 1 \alpha + \dfrac 1 \beta = 1 \), то согласно теореме Битти (см. раздел 22. «Спектр действительного числа» в сборнике задач «А. и м.») уравнение (95.2) не имеет решений в натуральных числах.
Ответ: решений нет.
95. Решите уравнение \[
\bigant { m \sqrt {10} } = \bigant { n \sqrt {10} } + 2m + 4n ,
\quad \mbox {где }
m, \, n \in \mathbb N .
\tag {95.1}
\]
Решение. Обозначим \(\bigant { m \sqrt {10} } = \bigant { n \sqrt {10} } + 2m + 4n ,
\quad \mbox {где }
m, \, n \in \mathbb N .
\tag {95.1}
\]
\alpha = \sqrt {10} - 2
\), \(
\beta = \sqrt {10} + 4
\). Тогда исходное уравнение примет вид \[
\bigant { m \alpha } = \bigant { n \beta } .
\tag {95.2}
\] Поскольку имеет место равенство \( \dfrac 1 \alpha + \dfrac 1 \beta = 1 \), то согласно теореме Битти (см. раздел 22. «Спектр действительного числа» в сборнике задач «А. и м.») уравнение (95.2) не имеет решений в натуральных числах.
Ответ: решений нет.
