«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

26 апреля 2016 г.

\( \ant { m \sqrt {10} } = \ant { n \sqrt {10} } + 2m + 4n \)

В последнее время все новые задачи на а. и м. я нахожу в группе The Mathematical Olympiads (www.linkedin.com). Решим очередную задачу.
95. Решите уравнение \[
\bigant { m \sqrt {10} } = \bigant { n \sqrt {10} } + 2m + 4n ,
\quad \mbox {где }
m, \, n \in \mathbb N .
\tag {95.1}
\]
Решение. Обозначим \(
\alpha = \sqrt {10} - 2
\), \(
\beta = \sqrt {10} + 4
\).  Тогда исходное уравнение примет вид \[
\bigant { m \alpha } = \bigant { n \beta } .
\tag {95.2}
\] Поскольку имеет место равенство \( \dfrac 1 \alpha + \dfrac 1 \beta = 1 \), то согласно теореме Битти (см. раздел 22. «Спектр действительного числа» в сборнике задач «А. и м.») уравнение (95.2) не имеет решений в натуральных числах.

Ответ: решений нет.


Автор: И.Л. на 16:34
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.