\( \ant { \dfrac 12 + \sqrt n } = \ant { \dfrac 12 + \sqrt { n - a } } \), где \( 0 \leqslant a \leqslant \dfrac 34 \)

В следующем равенстве спряталось известное (для любителей а. и м.) равенство.

96. Докажите, что при любых натуральных \( n \) \[
\ant { \dfrac 12 + \sqrt n } =
\ant { \dfrac 12 + \sqrt { n - a } } ,
\quad \mbox {где } 0 \leqslant a \leqslant \dfrac 34 .
\tag {96.1}
\]

Решение. В задачнике «А. и м.» (см. раздел 19. «Натуральные тождества
с арифметическим корнем») приводится равенство \[
\ant { \dfrac 12 + \sqrt n } =
\ant { \dfrac 12 + \sqrt { n - \dfrac34 } } ,
\tag {96.2}
\] которое выполняется при любых натуральных \( n \).
Поскольку \[
\sqrt { n - \dfrac34 } \leqslant
 \sqrt { n - a } \leqslant \sqrt n
\quad \mbox {при }
0 \leqslant a \leqslant \dfrac 34 ,
\] то для доказательства исходного неравенства достаточно доказать (96.2). Напомним, что антье — неубывающая функция.
\( \color{gray}{\blacksquare} \)